快好知 kuaihz

数学结构分为:代数结构、序结构与拓扑结构三大类

数学结构可分为代数结构、序结构与拓扑结构三大类。这三大类结构称为母结构,由它们还可导出各种子结构或通过交叉,形成各种分支结构。

(一)代数结构

代数结构,也称为代数系统,是离散性对象加运算构成的结构系统。它可以分为多种类型,基本的代数系统包括群、环、域、向量空间等基本内容,当然也包括加、减、乘、除四则运算,但还包括更抽象的运算。

其中,群结构是最基本的代数结构,它反映了抽象代数的本质。群论研究在数学中经常遇到的代数运算的最一般性质:数的加法、数的乘法、向量的加法、变换的合成等都是这种运算的例子。

采用数学结构主义方法考察群时,不是注意各种具体的数学集合,而是注意集合(按群的运算)所表现的内在关系结构。为此,我们必须注意群运算所具备的基本性质,如群的公理等,这些是我们所要研究的对象。

在有理数范围内,所有的有理数运算——加、减、乘、除均可无限制地进行,这样一个数的集合叫作一个域。数域是抽象代数中的一个基本概念,有理数域是我们遇到的第一个数域。有理数域,克服了自然数系的缺陷,相对而言,是比较完美的,对四则运算是封闭的,而且具有稠密性,它为日后数学的发展提供了一个重要的工具。

在此基础上,全体实数对于加法、乘法构成域,全体复数对于加法、乘法构成域。

从0和1出发,通过有理数运算可以构造出全部的有理数。事实上,通过加法可构造出2,3,4,…的任何自然数;再通过减法可得到全体整数;再通过除法运算就可得到全体有理数。正因为如此,英国数学家哈代曾说:“数学家同画家或诗人一样,也是造型家。”

同样,我们还可以建立环、线性空间的理论等,这样就把代数系统使用的范围扩大了。

(二)序结构

序结构是由某种特殊的关系定义的,它通常表示为“小于或等于”,例如在实数集R中,任意两个实数总有一个比另一个大,这种关系“<”就在R中定义了一个顺序结构。

序结构较为常用的有两种:半序集和全序集。如果集合A的元素之间定义了一个关系“R”,它具有自反性、反对称性和传递性,则称R为A上的半序关系。如果集合A上定义了一个半序关系,则称集合A为半序集。同一集合可以给出不同的半序关系而成为R的半序集。

如果集合A的元素之间定义了一个关系“R”,它具有自反性、反对称性、可比性和传递性,则称R为A上的全序关系。满足自反性、反对称性、可比性和传递性的集合A为全序集(或有序集)。相同的两个有序集,不但这两个集合的元素相同,而且它们的全序关系也必须相同。全序关系不同的两个集合是不同的有序集。

(三)拓扑结构

拓扑结构是指在一个集合X中分出一族子集作为邻域,依邻域系可研究极限过程。这种结构可以用邻域公理、开集公理等加以描述。为了刻画图形的拓扑性质,就要运用拓扑空间,这是比欧氏空间更为一般的新的空间。拓扑空间是在开集公理上定义了开集的非空集合。

拓扑方法是研究局部性质过渡到整体性质的方法。整体和局部是一对哲学范畴,全局由各个局部组成,但并非各个局部的简单总和,它高于局部。局部是整体的一部分,但有时局部会影响整体,甚至起主要的决定性作用。

从某种意义上说,拓扑学研究拓扑变换下保持不变的性质,因此有人把拓扑学形象地比喻为“橡皮几何学”。这是因为它所研究的图形的性质在图形作橡皮变形(如随意的挤压、拉伸或扭曲等)时,只要不撕裂和不粘连,就保持不变。这种变形就是拓扑变换。连续映射直观上就是使图形作各种连续变形,只要不破裂、不粘合,那么,图形的大小、长短、形状都可能会改变。

像上述谈到图形的“不破裂”和“不粘合”的连续变形,就是拓扑不变性。图形边界的封闭性、内部连续性、维数等,也都是图形的拓扑性质,这是图形的最一般的本质属性。在拓扑同胚的意义上,一个圆和一个正方形是没有区别的,它们都把平面分成两个连通部分。我们通过一个“一一对应的同胚下保持不变的双方连续变换”可将圆变为正方形,反之亦然,这种变换就是拓扑变换。

但是,研究整体性质的几何拓扑学并不能够脱离局部性质。上面说到的拓扑变换定义中就有双方连续的提法,而连续正是局部性质。连续依赖于极限定义,而极限可用邻域描述。由于数学对象的扩展,邻域可以是区间,可以是平面上的圆、空间中的球、曲面体上的一小块,甚至可以是无穷维空间上的一个特定的子集。点集拓扑学正是处理最一般空间中的局部性质与整体性质的学问。它的任务是研究点集的特性,按某种特征将点集分类。

本站资源来自互联网,仅供学习,如有侵权,请通知删除,敬请谅解!
搜索建议:结构  结构词条  拓扑  拓扑词条  代数  代数词条  分为  分为词条  三大  三大词条