本科生科研指南（74）：浮力的认知历程及应用
张宇宁、张湘晴
华北电力大学能源动力与机械工程学院
学者之患，在于好谈高妙，而自己脚根却不点地。
----朱熹（1130－1200）
在我们的日常生活中，浮力现象是司空见惯的。例如，当我们把乒乓球置于水中时，由于浮力的作用，乒乓球会不断上浮，并最终漂浮在水的表面。再比如，在游泳的时候，拍打水面会将部分空气卷入到水中从而形成小气泡，而这些小气泡在浮力的作用下会很快地上浮到水的表面。
图一 浸入流体的乒乓球受力示意图
浮力的计算方法在中学物理课本里我们便已经学习过，即阿基米德浮力原理。依据这个原理，我们得知浮力数值上等于浸入流体中的物体所排开的流体重量，方向为竖直向上。这个原理最早是阿基米德在《论浮体》的专著中阐述的，因此以他的名字命名。据说，浮力的发现是阿基米德在尝试解决国王的黄金王冠是否掺杂了其他金属这一问题的过程中发现的。阿基米德在洗澡的时候发现水面会上升，并受此启发，开展了各种不同形状和比重的固体在浮力作用下的实验，最终总结出了流传两千多年的阿基米德浮力原理。由此可见，生活观察对于科学研究的重要性。
人们对于浮力的研究并未到此止步，对于浮力本质的认识后续逐步深入。经过详细的实验研究，学者们发现引起浮力的根本原因是浸入流体中物体所受到的压力。简而言之，以水为例，在我们生活中的大部分情况下，水中的压力因为重力的影响而呈现一定的分布，较深处水的压力比与空气相接触的液面处水的压力更大一些。从能量转化的视角来看，能量本身是守恒的，只不过在液面处，水的位置较高，重力势能较大，而压强势能便小一点，而在较深处的水中，水的位置较低，重力势能较小，而压强势能便大一点，仅此而已。在不考虑流体动能的情况下，这个原理实际上可以看成是流体力学中描述机械能守恒的伯努利方程的一个特例。因此，浮力的产生是流体中的压力对于浸入流体中的物体综合作用的一个效果。以浸入流体中的乒乓球为例，在上表面处，因为流体的压强较小，乒乓球表面所受到的压力也较小，合力的方向向下。而在乒乓球的下表面处，流体的压强则较大，下表面所受到的压力也较大，合力的方向向上。二者差值便是浮力的数值。对于空气，浮力的本质是完全一样的，可以类似地进行分析。值得一提的是，因为空气的密度随着高度呈现一定的变化，在计算浮力的过程中需要注意此点。
图三 流体中物体浮力示意图
浮力本质的认识对于研究流体力学和解决工程问题非常重要，因为很多问题只依靠阿基米德浮力原理是无法解决的。例如，水库在蓄水之后，需要研究水库中的大坝所受到的水体的压力及其分布。泛而言之，科学研究和工程中需要对浸入流体中的任意曲面的受力情况进行求解，这些问题的解决都依赖于对浮力本质的深刻认识。
对于浮力认识的又一次飞跃是在微积分出现以后，其标志性事件是流体力学家欧拉推导出了流体静力学微分方程并对其进行了详细的求解。至此，我们对于浮力的认识日臻完备。有趣的是，通过引入微积分后，我们可以很方便地讲一个流体力学中求解浮力的问题转化为一个几何学中求解体积的问题，即压力体概念的引入。这种转化极大地方便了各类复杂问题的求解。
关于浮力，实际应用中的情况远比上述复杂。仔细观察从水中浮升的气泡，对于不同大小的气泡，浮升过程会有两种不同的行为模式：当气泡较小的时候，浮升的轨迹近似为直线；当气泡较大的时候，浮升的轨迹近似为螺旋形。据考证，列奥纳多·达·芬奇是第一个有记载的观察到这类现象的学者。而且，达·芬奇对这个现象的思考在他的诸多手稿中均有所体现。鉴于达·芬奇的贡献，研究人员提出采用达·芬奇的名字命名该现象，即列奥纳多悖论。之所以称之为悖论，是因为这个现象与达·芬奇时代流行的源自亚里士多德的理论相矛盾。气泡产生螺旋形浮升现象的主要原因是较大的气泡容易发生变形，球体呈现扁球面，从而进一步引发气泡尾流的不稳定。
图四 达芬奇手稿中的气泡螺旋形上升轨迹示意图。Armand Hammer Foundation (1982)
图五 达芬奇另一份手稿中的气泡螺旋形上升轨迹示意图。Reproduced from Ravaisson-Mollien (1889)
浮力的另一个应用是选矿过程中经常采用的浮选法。浮选前，先将矿石磨碎成较小的颗粒，方便后续浮选工作的进行。在矿浆中所产生的空气泡的浮升过程中，有价值的矿物质将通过物理化学作用附着在泡的表面并最终漂浮在液体之上，从而达到选矿的效果。在这个过程中，浮选的效率与空气泡和矿石颗粒之间的作用力密切相关，是非常值得研究的科学问题。
图六 浮选机原理图
对于浮力而言，本科生并不陌生，但真正的领会和掌握却需要下一番功夫。例如，以下几个问题需要本科生深入思考：浮力是否一定是竖直向上的？浮力是质量力还是表面力？这里，质量力指的是力可以作用在物体的每个部分上，比如重力，而表面力则只作用在物体的表面。依据笔者近些年来的教学经验，本科生对于上述知识点的掌握并不牢固，仍需要巩固、加强。扎实的基础是未来能够做好科学研究的重要基石，应予以高度重视。
