1. 思维概说
(1)何谓思维 思维是人脑对客观事物本质属性和内部规律的概括的间接的反映.
认识分感性认识(包括感觉、知觉、表象)和理性认识(包括概念、判断、推理), 思维是指以感性认识为基础的理性认识, 是感性认识的概括和升华. 表象是头脑中再现的某一类事物的形象, 表象是感性认识向理性认识转化的桥梁, 概念是思维的细胞和主要形式.
(2)思维的品质 思维的品质是指, 思维的深刻性、广阔性、灵活性、创新性、敏捷性和批判性.
(3)思维的分类 到目前为止, 思维尚无统一的分类, 不同的人有不同的分类方法.
按思维过程的指向分为正向思维和逆向思维, 还可分为集中思维和发散思维; 按思维的品质可分为再现性思维和创造性思维; 按是否经过明确的思考步骤分为逻辑思维和非逻辑思维, 逻辑思维又分为形式逻辑、数理逻辑和辩证逻辑, 非逻辑思维分为形象思维、想象、直觉和灵感(或顿悟).
形式逻辑是关于思维形式、规律和方法的科学, 其中思维形式是概念、判断和推理; 思维规律是同一律、矛盾律、排中律和充足理由律; 思维方法是分析与综合、抽象与概括、归纳、演绎、类比和猜测.
数理逻辑是用数学方法研究形式逻辑.辩证逻辑是研究思维如何正确反映客观事物的运动变化、内部矛盾和相互联系转化的科学.
数学思维既具有与一般科学思维的共性, 也有它自身的特点. 所谓数学思维是指, 人脑关于数学对象的理性认识过程. 数学思维与数学科学一样具有高度的抽象性、严密的逻辑性, 还具有实验、猜测、直觉、美感等特点.
逻辑思维是以概念为思维材料, 以语言为思维载体, 每前进一步都有充分依据的思维.它以抽象性为主要特征, 其基本形式是概念、判断和推理.
形象思维是依靠形象材料的意识领会得到理解的思维, 它的主要特征是思维材料的形象化, 其基本形式是表象、直觉和想象, 它在数学中激励人们的想象力和创造性, 常常导致主要的数学发现.
直觉思维是以高度省略、简化、浓缩的方式洞察问题实质的思维, 它的主要特点是能在一瞬间跳过明确的逻辑推理过程, 迅速直达问题的结论. 其基本形式是直觉与灵感(或顿悟).
所谓灵感, 或顿悟, 是指人们对长期探索而未解决的问题的一种突然性醒悟, 它具有突发性、偶然性、创新性和非逻辑性.
直觉是对数学结构及关系的某种直接领悟或洞察, 具有非逻辑性和下意识的自发性.
逻辑思维是数学思维的核心, 形象思维是数学思维的先导. 在一般的数学思维过程中,往往是这两种思维交错运用的综合过程. 而直觉思维是这两种思维发展到一定水平后才能形成的思维.
逻辑是证明的工具, 直觉是发现的工具, 它们互相补充, 交互作用, 都是数学家进行创造的武器.
3. 例谈
例 1
极限理论体现了辩证思维.
牛顿起初把变化的瞬“ ”看作“非零” , 变化的“ ”与不变的“零”绝对不同, 体现了变与不变相对立的一面. 然而牛顿缺乏辩证逻辑思维, 在最后一步不得不违心地把非零“ ”看作“零” , 违背了形式逻辑中的排中律, 陷入了矛盾, 不能自拔. 引入极限理论之后, 当 时, 变化着的瞬“ ”自然转化为“零” , 完成了“非零”向零的转化, 这是变与不变的统一, 体现了辩证思维, 彻底解决了第二次数学危机. 辩证思维的运用, 标志着人类认识的一大进步.
例 2
当 时, 变量 是无穷小量吗?
解 首先利用化归方法将变量变形: （）. 经观察, 这是底数小于 1 的指数函数与常量之和, 联想到数形结合方法, 作出函数图像(图1). 从几何直观可以看出 时 的 变 化 趋 势 , 即 时 , . 经 形 象 思 维 , 作 出 逻 辑 判 断 : 变 量 是 时的无穷小量. 在此题求解过程中, 用到观察、表象、直感、判断等形象思维和逻辑思维, 如果还要求证明, 那么逻辑思维会更多.
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书名：《高等数学基础》
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书号：978-7-03-058602-5
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本文首发于“科学出版社数学教育”微信公众号。微信封面图片来自Pixabay。
本期编辑丨张中兴 王芳
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