“世界是平的。”
—托马斯·弗里德曼
“温度从绝对零度升高，使处于EF以下附近的电子激发到EF以上附近能级。这有点像被风拂起的冬日树梢那层浮雪，被吹皱的春日那一池春水，被撩动的少女芳心那一层涟漪。”
—汪炼成
1. 引言
《世界是平的》作者托马斯·弗里德曼在参观印度软件公司Infosys时，CEO 奈什卡尼说：“世界的竞技场已经被夷为平地”。的确，互联网等科技的发展使地球变得越来越平，资源趋向按照最优效率和最低成本在全球配置。
我是窝在印尼雅加达华人社区的一个陈旧宾馆里读的这本书。适时正逢印尼洪水，外面很多巷子和街道都接近一片汪洋（特殊时期，机票便宜，新加坡到雅加达只有几十新币，于是说走就走）。
同处东南亚，新加坡却不管多大的雨，也很少见到街道或住宅被淹。新加坡缺淡水，最开始是从马来西亚进口，断水就意味着宣战。后来政府也精确设计剃度，开沟挖渠，积雨水为水库储存部分淡水，也解决了洪水的问题。雨后雨水从山坡流到引道到水渠，再到水库的潺潺的流水声，像是在奏一首欢快的曲子。
言归正传。费米能级，简写为EF，被定义为：“描述平衡的电子系统性质的一个参量”（叶良修，《半导体物理》），或“由系统的具体情况决定的参数，并不代表一个电子本征态的能值”（黄昆，《固体物理》）。
可以看出：1）EF不是真实存在的能级，只是用来表征电子分布概率的一个参数。比如本征半导体的EF约在禁带中央位置，而这没有电子存在；2）由电子占据晶体中所有各能级几率之和等于电子总数可求得EF。
电子占据晶体中能级E的概率可用费米-狄拉克分布来描述。如图1所示。在绝对零度时，EF以上能级电子占据概率为零（全空），EF以下所有能级均被电子占据（全满），即EF是电子填充的最高水平。而随着温度的升高，处于EF下的电子有机会被激发到EF上。大家看看图1中从T=0，到T1，T2的分布函数形状，有点像被风拂起的冬日树梢那层浮雪，被吹皱的春天一池春水，被撩动的少女芳心那一层涟漪。细细揣摩，有点意思。
图1 用费米-狄拉克分布：在绝对零度时，EF以上能级电子占据概率为零， EF
以下所有能级均被电子占据。而随着温度的升高，处于EF下的电子被激发到EF上。
我觉得费米能级和引言所述现象稍有异曲同工之妙。可以把电子当作为水滴，而水平面作为费米能级。如同水往最低重力势能处，资源往最优效率和最低成本处流动，电子也往电势能低处运动，直到平衡。初中物理课上展示的连通器和PN结形成也许最为“神似”，连通器的水平面和PN结的费米能级最后会持平。
图2 LED平衡态（a）和正向偏压工作（b）下的能带图。
相对位置判断表面载流子是否耗尽或反型。
费米能级主要是用以判别半导体的掺杂种类，浓度及器件状态等。如p/n/i型半导体的费米能级分别靠近价带/导带和禁带中央，越靠近价带/导带，p/n的掺杂浓度越高。重掺杂下，费米能级可能进入价带/导带，发生简并。
可以看看两端MOS结的耗尽和反型：如图3所示，零偏压下，p-Si EF靠近价带，界面为多子空穴；外加电压，界面能带向下弯曲，EF逐渐远离价带，界面空穴浓度减少；外加电压增加，能带继续向下弯曲，EF和本征费米能级EFi重合，界面空穴耗尽，浓度和本征载流子浓度相当；外加电压继续增加，EF靠近导带移动，当界面EF和EFi之差等于p-Si内部EF和EFi之差时，界面少子电子浓度等于p-Si内部空穴浓度，反型层形成。
毫无疑问，掺杂是实现费米能级调控的主要手段，而费米能级的调控是实现高性能半导体器件的重要前提和基础之一，比如高势垒肖特基二极管、齐纳二极管和江琦二极管等。
对于石墨烯，其为二维零带隙半金属材料，在狄拉克点附近，其能量-波矢色散关系是线性的，并且由于在狄拉克点附近有效态密度（DOS）很小（相当于水容器的横截面积很小），很小电荷的转移会引起EF较大的移动。Ricardo Vega Monroy等制备了石墨烯基肖特基二极管，在太赫兹光的照射下，实现了EF的量子振荡调控。这也利用了电子在石墨烯中迁移率很大的特点。而另一方面，石墨烯EF的敏感特性，加之本身较大的比表面积，会比较容易受到服役和制备环境的“非故意掺杂”，比如金属的“contact doping”“chemical doping”等，而使EF移动较难控制。
量子点、纳米线等零维和一维的低维半导体材料也具有较大比表面积，不可避免引入较大的表面缺陷。Guodong Yuan等报道可通过不同的表面吸附物，通过“Transfer doping”实现对硅纳米线等费米能级从而电学性质的调控。但与石墨烯EF较易敏感移动不同，P. A. Alekseev，Alex Redinger等也发现表面态会钉扎III-As纳米线和钙钛矿量子点等的EF（Nanotechnology 29.31 (2018)，Nanoscale, 2019, 11(36): 16828-16836.），这对应金属半导体接触的“巴丁极限”情况。钉扎增加了EF灵活调控的难度，却也使其环境和制程鲁棒性增强。硬币总存在着两面。
5. 结语
世界是平的。但包括美国人托马斯•弗里德曼在内的绝大多数人都没有想到，一度认为是平的世界现在却斗转直下，如龙卷风暴般卷曲。
世界或许本是不平的。君不见，Infosys公司富丽堂皇的现代化会议室外是印度典型的脏乱的街道，牛群、马车和载客摩托横冲直闯；雅加达金碧辉煌的5星+酒店边上很多是阴森黑暗的棚户，豪华的高级轿车和破旧拥挤的公交，打扮精神的商务精英和赤脚的司机和售票人员，博物馆、机场工作人员并行。考虑安全，我在雅加达只敢一个人佯装local且正午时候才敢出去逛逛，而飞机只要落地新加坡，便感觉非常地踏实和安全。不平是发展的驱动力。
费米能级也可以是不平的。比如，LED在正向偏压稳定工作的“平衡态”下，其电子和空穴准费米能级存在能级差：不平的费米能级是电子和空穴运动而实现器件功能的驱动力。
