不为人知的数学伟人
罗伯特·朗兰兹的工作可能不会有实际用处——但他完全不在乎
薇薇安·费尔班克 撰文
乔纳森·戴克 绘图
2018年11月15日
左 芬 翻译
五月末的一天早晨，在奥斯陆大学的一个礼堂里，罗伯特·朗兰兹，世界上最具影响力的数学家之一，正向一群杰出的同行做一个讲座。他们齐聚一堂以庆贺这位81岁老人荣获阿贝尔奖——许多人眼中的数学诺贝尔奖。
罗伯特·朗兰兹手里拿着记号笔，前后踱着步，目光总是看向地板，就这样讲起以他的名字命名的一个研究领域。“问题是，”这位加拿大数学家告诉聚集的研究者、教授和学生们，“就其目前的形式，它的各个方面都被我认可吗？答案是否定的。”人群中发出窃笑声。“如果谁把我的名字从那个部分中去掉，并为它另外命名，我将会非常感激。”
对于相对庄重的学术界，这就好比一个备受推崇的导演，接受了奥斯卡最佳影片奖，却只是上台痛骂其他人导演的影片续集。在礼堂的前方坐着爱德华·弗伦克尔——出生于俄国，现居加州的一个数学家，他职业生涯的一多半都在扩展和普及朗兰兹的工作。
上世纪60年代，朗兰兹发现了通常被认为互不相干的两个领域，数论（整数的研究）与调和分析（对诸如吉他弦振动所产生的波之类的连续现象的研究），之间的一种关联。他的工作——这架设起了整数王国与连续函数王国之间一座坚实而出人意料的桥梁——使得关于数学完全体的内部关联的一种全新的思路成为可能。
朗兰兹的观察结果是如此的意义深远，以至于影响了数以百计的学者，让他们中的许多人穷尽一生来加以精炼和完成证明，并且开启了许多全新的研究领域。这些新领域之一——弗伦克尔在其中属于领导者——扩展了朗兰兹的原初观察结果，将其推广到几何中，而这进而为其它学科的应用带来了机遇。这多种探索思路（所谓古典朗兰兹纲领与扩展的几何及物理朗兰兹纲领）合起来构成了现存最宏伟的数学研究计划之一——远远超出了朗兰兹本人的控制范围。
朗兰兹和弗伦克尔，后者目前在加州大学伯克利分校任教，之间的分歧源于他们对纯粹数学的不同技术方案以及他们的不同动机：弗伦克尔的一些工作处理的是数学的潜在“实用性”，对此朗兰兹并不太关注。这在几何（但不是古典）朗兰兹纲领应用到理论物理学中时表现得最为明显。带着时空探索的诱人企图以及理解宇宙构建模块的究极问题，理论物理比起深奥难懂的数学倡议更能俘获人们的想象力。
这两位数学家也象征着学术王国中的一个更大的分歧：到底是为了过程中的纯粹乐趣而摆弄抽象概念，还是为了解决现实世界中的实际问题而去做。随着大学作为纯粹研究中心的角色开始转变，而越来越倾向于更务实和应用的学科（少一些哲学，多一些工程），数学到底服务于何种目的——或者它是否需要服务于某个目的——的问题对于它的实践者来说具有非常实际的影响。在此背景下，朗兰兹纲领的各种解释就成为了关于抽象科学合理性的论争的一个案例。
2013年，加拿大当时的科技部部长，加里·古德伊尔，告诉加拿大广播公司他的部门在要求科学家们“重视科学的商业侧面……不从书架上拿下来，放到我们的工厂中去的知识是没有实际价值的。”正因如此，一个美国数论家迈克尔·哈里斯说，纯粹数学家们为了他们的生存有时会参与这种集体杜撰：他们将自己的研究说成是即时可用的。许多数学家所感受到的必须让自己的研究成果像黑洞一样浪漫，或是像股票经纪一样实用的这种压力开始剥夺研究本身的自由。
罗伯特·朗兰兹1930年代和40年代成长于英属哥伦比亚的低陆平原地区。因为对学校课程感到乏味，他曾想要休学一段时间。在一位高中教师鼓励他继续自己的研究后，朗兰兹上了英属哥伦比亚大学，后来又上了耶鲁。目前作为高等研究院的一名荣誉退休教授——他使用着阿尔伯特·爱因斯坦之前用过的办公室之一——朗兰兹主要在普林斯顿生活，偶尔回去蒙特利尔。他的演讲是慢节奏和精心制作的，并且带有为某些自命不凡的知识分子所特有的那种严厉而不露声色的幽默；他会时不时向采访者提议，他们真正打算询问的是什么，或是应该改为询问什么。（在英属哥伦比亚大学一名研究生的一次书面采访的最后他曾如此回答：“详尽地回答你寥寥无几的问题已经让你和我都精疲力竭。你应该会为没有问得更多而庆幸不已。我也是。”）
弗伦克尔，其外表诱使一家报纸称他为“当世最性感的数学发言人”，则是一个与外部世界交流起来自然得多的使者：他有一种令人舒适的柔和嗓音，并且他倾向于告诉他的听众他们很有“活力”，数学家是一个“家庭”，他的话是“发自内心的”。2013年，弗伦克尔出版了一本大众趣味的数学畅销书，题为《爱与数学：隐藏实在性之核心》。这本书讲述了弗伦克尔作为一个年轻犹太人在莫斯科生活的故事，并且以（相对）简单的措词解释了朗兰兹纲领以及弗伦克尔本人在这方面的工作。在书中，弗伦克尔以耳熟能详的比喻将读者诱入数学的世界：找出无理数就好像在茶里加入方糖；量子对偶性就好像他妈妈的罗宋汤菜谱里土豆跟洋葱的关系；朗兰兹纲领就好像一个巨型的拼图游戏。
弗伦克尔为《纽约时报》撰写过专栏，还曾是电视脱口秀节目《科尔伯特报告》的嘉宾。他联袂出演了自导的关于数学之美的准情色电影，并且倾向于告诉记者“我将向你展示数学的m迷人之处”之类的话。因此当一个新闻工作者写到朗兰兹纲领，他们通常不去采访朗兰兹；他们会去采访弗伦克尔。
“数学家，作为一个行业，在同普通大众沟通方面失败得惨不忍睹，”弗伦克尔说道。“但在数学内部，我们彼此之间的交流也彻底失败了……在我看来，我们有义务去共享。”朗兰兹不太认同这种销售式的努力。
如果说数学是一种“通用”语言，如同众多科学普及书籍所声称的那样（2+2=4，不论是用英语还是俄语来写），那么它也是最难以接近的一种——这里有着数不胜数的术语，规则，和例外。数学中不同的研究领域使用不同的方案和词汇，而一个领域的研究者完全领会另一个领域的工作是很罕见的。朗兰兹被视为一个超常的天才，就因为他能精通好几个方向。他在1967年开展的工作是如此的错综复杂，以致于直到今天，还只有少数人能够理解。（朗兰兹在被实际授予阿贝尔奖之前至少被提名过三次；提名他的那些学者认为部分原因是评奖委员会在理解他的工作上举步维艰。）
历史上，纯粹数学家几乎一直主张他们的大多数抽象探索是无实用价值的。他们会经常将自己的研究描述为对美或普适真理的纯朴追求。数论家戈弗雷·哈罗德·哈代在1940年写道：“真正的数学……应当被诠释为艺术，如果它确实可以被诠释的话。”
关于数学的哲学基础的这种介入现在少多了，如今甚至一些纯粹的数学家都会随意地谈论他们工作的实用性推广。例如，那些对计算机科学或理论物理学感兴趣的人，也会辩解说尽管抽象理论也许不是即时可用的，但它总会发展成某些有用的东西——正如非欧几何最终帮助爱因斯坦发展了他的广义相对论，而密码安全性如今受益于数论。
对于朗兰兹来说，地质或生物这类的科学探索帮助我们“处理外在的世界和宇宙”；而另一方面，朗兰兹纲领“只会因数学本身的重要而重要”。
当他在60年代开始做研究时，罗伯特·朗兰兹仅只是探讨类域论——纯粹数学的一个分支——的潜在扩展。他的工作的最明显的应用常常是在同样深奥难懂的其他数学方向。1995年发表了费马大定理——那时作为“最难的数学问题”收入在《吉尼斯世界纪录大全》中——的证明的数论家安德鲁·怀尔斯是借助了朗兰兹纲领才解决该难题的。大多数数学家也认同朗兰兹纲领会有助于得出黎曼猜想的证明，而这一猜想很可能是（关于素数分布的）最负盛名的未解数学难题。不过，这些问题跟朗兰兹自己的工作一样抽象，而这也表明，他的研究计划，就跟他最初构思时一样，跟日常生活没什么关联。正如朗兰兹所坦承的那样，他的工作“可以消失地无影无踪，而地球会照常转动。”（对朗兰兹的计算最基本的——但仍然极难理解的——解释是，他将数域扩张的伽罗华群与自守形式及代数群的表示论联系在了一起。）
1980年代，全球的数学家，包括弗伦克尔，开始研究几何朗兰兹纲领：一个相关但平行的研究领域，旨在探索朗兰兹的发现的一些应用。几何和数论很久以来都被认为是毫不相干的两个方向：几何主要来自希腊传统，而代数在很大程度上源于中东的伊斯兰教黄金时代。尽管勒奈·笛卡尔在其1637年所著的《几何学》一书中将这两个主题很好地融合在了一起，它们依然很少重叠：代数被认为是一个纯粹的主题，而几何因为它的各种实用性通常被当成一种“混合型”追求——也就是我们现在所谓的应用数学。自那以后人们已经发展了几何和数论之间多种多样的联系，但其中几乎没有像几何朗兰兹纲领有望构建出的这么广泛。
几何纲领的扩展也平行于理论物理世界的许多发展，而这一领域旨在解释大自然中最基本的粒子和力；部分地因为这一进展，物理学家和数学家在过去十年里合作得史无前例地多。在1970年代，物理学家发展了一套理论框架以全盘解释宇宙间所有已知的力。这就是所谓的标准模型，它预言了诸多现象（包括希格斯粒子，也就是著名的“上帝粒子”，它导致了宇宙间所有质量的产生）并在之后都获得了证实，从而获得了不可思议的成功。
不过这一模型也有不足之处，它没能囊括引力或是暗物质（被认为构成了宇宙的大部分的一种神秘的物质——如果它确实是一种物质的话）。在努力解决它以及其它问题的过程中，研究者们提出了超对称原理来扩展标准模型，而该原理预言了粒子间的一种特殊关系。可尽管进行了大量昂贵的实验，这一关系从未被证实是存在的。“这有一点危机的意味。”一位数学家最近说道。处理这一问题的理论物理学家们如今研究几种不同的理论（“超对称规范理论”和“超对称量子场论”），试图将粒子间的这种联系用数学语言来描述。而这，多伦多大学数学家约珥·卡姆尼泽说，正是几何朗兰兹纲领能有所帮助之处（不过，他承认，“我不敢肯定说我完全理解其原因。”）。
尽管理论物理也可能像纯粹数学一样抽象，但部分地因为它诱人的可视元素以及提供的探险机会，却在公众认知中找到了一个坚实得多的位置。科幻小说通过诸如黑洞，虫洞，以及n-维空间这类想法甚至曝露出更强烈的数学厌恶感——还有什么比在宇宙中旅行，回来后仅仅老去了一天的图景更引人入胜的呢？——进而使得大量经费流入对诸如暗物质这类现象的探索中。看起来我们在面对抽象理论时要乐意得多，如果它能激发我们的奇思异想的话。这可能解释了为何在弗伦克尔出现之后，外部世界对朗兰兹的工作兴趣倍增。
理论物理学家从猜想出发，继之以实验和改进；另一方面，数学则基于公理和证明，并排斥任何形式的推测。这意味着“物理学家和数学家已经在劳力的精细分工中各执一词，前者抱怨后者吹毛求疵，而后者则抱怨前者粗枝大叶，”理论物理学家萨宾娜·霍森菲尔德在她最近出版的《迷失在数学中》一书中写道。大多数研究朗兰兹纲领的数学家根本不知道理论物理学家在干些什么，而在多大程度上朗兰兹纲领会有益于物理学仍然无人知晓。
尽管如此，将几何理论联系到物理学可以让它更具诱惑力。对几何和物理朗兰兹纲领的通俗报道使它听起来就好像在科学家之间出现了规模浩大的合作，其中抽象数学和物理学的边界最终融合在了一起——真理的理想化柏拉图式会合——以致宇宙的奥秘将被以数学语言揭示出来。不过，一个数学家如果声称像朗兰兹纲领这样的一个项目会有“任何物理意义”的话，朗兰兹说，他必然“会让人们失望”。
朗兰兹整整五年每天早上，一周七天不间断地，都用来雕琢他在奥斯陆演讲的那篇文章了。它完全是用俄语写的，并且主要致力于重新表述弗伦克尔所拥护的几何纲领。这篇新文章试图将这一领域转回到更传统的方案上去：通过使用他在60年代使用过的类似工具，为这一几何理论提议了一种跟朗兰兹原始猜想更紧密相关的全新数学基础——从而在此过程中，将他的工作恢复到其原初的算术纯粹性。
在做演讲之前，朗兰兹将文章的部分章节寄给了熟悉其研究的众多数学家。几个月过后，他仍没有收到任何能够读懂全文的人的回复。
“如果他想让更多人去关注它，”多伦多大学的数学家詹姆斯·亚瑟说，“他究竟为何要用俄语来撰写呢？”一些人推测这是为了针对弗伦克尔，尽管朗兰兹坚持说并非如此——他说一直想用俄语写些东西，而退休终于让他有机会去这么做。
如果朗兰兹的新工作是坚实的，为足够多的人所理解，并且改写成一般形式，它可能是“革命性的”，在英属哥伦比亚大学任职的一位数学家茱莉娅·戈登说道。通过提出与原始朗兰兹纲领相关的想法，朗兰兹“试图让我们重新脚踏实地”，她说。他最近的表述很可能不会替代当前的几何理论——那一理论会“始终存在”，亚瑟说——但它可能奠基一条新的研究思路，进而有望导致不同的发现。
弗伦克尔4月份收到了这篇文章的全文，然后在6月，他给朗兰兹发邮件问了一些诠释性的问题。朗兰兹没有予以回答；他只是告诉弗伦克尔去重读原文并特别注意第五十九页的一行字。“我累了，”朗兰兹说，“【弗伦克尔】似乎没有考虑到关键的一步，那正是转折点。”
数月之后，弗伦克尔感到“有一点为难”，他说，“朗兰兹是我的英雄——我不想去批评他。”但对朗兰兹将几何和物理纲领刻画为推测性的和难以令人信服的——这可能是在数学研究王国中所能做出的最刺耳的侮辱——他仍然失望不已。弗伦克尔对这篇俄文文章的阅读也表现在他那天在奥斯陆的发言中；他反讽朗兰兹的最近工作“比起几何理论在过去三十年所产生的成果，在严格性上远远不如。”
8月末，在蒙特利尔市朗兰兹和他的太太，雕刻家夏洛特·朗兰兹，共同拥有的一间小公寓中，我访问了他。此前一天，他完成了他将要在土耳其做的一个（土耳其语）讲座的准备。既然他的俄语文章已经发表，朗兰兹说——尽管他之前也说过——他准备停止研究数学，而“转向其他更惬意的事情”。
我们见面的那天，他将多年来的第一个自由的早晨用来阅读十九世纪德国作家特奥多尔·冯塔纳的一篇（德文原文的）游记。得到了休息时间并与他在英属哥伦比亚的家庭团聚，朗兰兹比起他几个月前在奥斯陆时显得更有活力，更加健谈——并且对他的同行们也稍微宽容了些。他承认可能应该对弗伦克尔的问题更热情一些。
11月的时候，挪威科学与文学学院将在明尼苏达联合主办阿贝尔会议，一次为期三天的“罗伯特·P·朗兰兹数学庆典”。朗兰兹与弗伦克尔均会出席。在会议中将会有一个讲座来解释朗兰兹的俄文文章的基本假定以及它如何区别于当前的几何朗兰兹纲领。而做这个讲座的人，将会是弗伦克尔。
