本科生科研指南（45）：无量纲数之雷诺数
张宇宁
华北电力大学（北京）
为了方便同学们更为深刻地理解无量纲数的本质特征，从本期开始，笔者选取若干常用的无量纲数进行详细地介绍，包括无量数的定义、物理意义、重要参数选取、常见数值范围、实际应用范例等等。
从无量纲数的构造方法而言，流体力学中的无量纲数一般将惯性力与流体受到的力进行比较而得到。根据力形成的物理机制不同（例如，重力、粘性力、压差力、表面张力等等），我们便可以得到各种各样的无量纲数(详见：本科生科研指南（43）：无量纲数构造方法)。雷诺数的构造方法也是基于上述原理，其表征了惯性力与粘性力的比值，定义式为流体的密度乘以特征速度再乘以特征长度然后除以流体的动力粘度。因流体的运动粘度等于其动力粘度除以密度，所以雷诺数也可以表述为特征速度乘以特征长度除以流体的运动粘度。在雷诺数的表达式中，特征速度一般选取为来流的平均速度，动力粘度则与流体本身的物理性质有关。
值得一提的是，虽然雷诺数是以奥斯本·雷诺（Osborne Reynolds）的名字命名，但实际上该无量纲的命名反映了一代流体科学家对流体力学发展的贡献。雷诺数早期的思想在1851年便被乔治·斯托克斯（George Stokes）提出，后来1883年雷诺发表了较为系统的研究管内流动现象及其阻力的论文（注一），并将雷诺数作为管内流动状态的判定准则。1908年，阿诺德·索末菲尔德（Arnold Sommerfeld）在国际数学家大会上发表的论文中采用“雷诺数”的名字（注二），并后续被相关学者使用。
物理意义而言，雷诺数反映了惯性力与粘性力比值的大小。当雷诺数较小时，惯性力起主要作用，流体的流动较为有序（即层流流动）。当雷诺数较大时，粘性力起主要作用，流体的流动则较为混乱和无序（即湍流或者紊流流动）。下面我们以管道内部的流动为例，对雷诺数的概念进行简要说明。当流动的流速较低时，其流动状态为层流。随着流速的逐渐增加，雷诺数逐渐增大，流动状态逐步由层流过渡到湍流。值得一提的是，在上述转变的过程中，流动状态存在一个过渡区，在该区域流体的流动状态通常难以明确判定。当流动转变为典型的紊流之时，此时的雷诺数便是上临界雷诺数（对于圆管，大概为13800）。类似地，当流动从速度较大逐渐降低时，当流体从紊流转变为显著的层流时，其对应的雷诺数称之为下临界雷诺数（对于圆管，大概为2320）。之所以存在上、下两个临界雷诺数，其根本原因是由于过渡区的存在。在过渡区内，即使流动可以保持在层流状态，但该流动会极不稳定，对于外界的微小扰动很敏感，容易转变到紊流状态。在工程上，一般采用下临界雷诺数作为流动状态是层流还是紊乱的判据。类似地，当流体绕过圆柱流动时，也可以采用雷诺数作为层流到紊流转变的判据。当雷诺数较小时，流动处于层流状态，流体绕过圆柱后仍然保持非常有序的流动，其流动具有很好的轴对称性。当雷诺数较大时，流体逐渐在圆柱后部发生流动分离现象，并会进一步在圆柱后部产生涡旋运动。随着雷诺数的进一步增加，流动的对称性被极大地破坏，并产生两个交替出现的涡街（称为“卡门涡街”）。当固体（例如，大桥）的固有频率与上述卡门涡街的频率接近时，固体会产生强烈的共振效应，振幅显著，甚至于造成坍塌等严重事故（详见：本科生科研指南（25）：卡门涡街）。
值得注意的是，当流动现象存在上、下两个无量纲数时，应该选取哪个作为流动状态转变的判据需要根据所要研究的现象确定。例如，在飞机超声速现象早期的研究中（详见：本科生科研指南（26）：突破声障），工程界起初采用下临界马赫数对该现象进行了系统地研究，结果发现当流动的马赫数大于此数值时，飞机未必会遇到声障，因此下临界马赫数对指导工程实践存在很多的弊端。后来，我国著名科学家郭永怀先生严格地从数学上证明了当飞机的马赫数超过下临界马赫数时仍然存在稳定解，并不一定会遇到声障，并依据此提出了采用了上临界马赫数作为超声速研究的判据，后续受到广泛的关注和认可。
在雷诺数中，特征长度的选取非常重要。下面我们以几种常见的流动为例展示特征长度的选取极其依据。
1. 圆柱绕流。特征长度一般选为圆柱的直径。
2. 管内流动。对于圆形的管道，特征长度一般选为管道的直径。
3. 平板绕流。特征长度一般选为平板的长度。
4. 球形物体绕流。特征长度一般选为球体的直径。
5. 气泡振荡。因为气泡的直径在振荡过程中会处于动态变化之中，因此不适合作为特征长度。一般而言，气泡振荡过程中的最大直径通常是较为稳定的，因此一般采用气泡的最大直径作为特征长度计算雷诺数。
部分情况下，流体可能并未充满整个流动的通道（例如管道）。另外，还有很多的工程应用涉及到复杂的、非圆形截面的管道或者管束。为了方便对这些情形进行计算，在流体力学中引入了水力半径的概念，其定义为流体过流部分的截面积除以被流体浸润的边壁长度（又称为“湿周”）。而水力直径（又称为当量直径）则等于4倍的水力半径。在计算雷诺数时，特征长度选取为当量直径即可。由此可见，雷诺数对于处理复杂的管道流动问题具有重要的理论指导意义！想象一下，为了测量各类管道的阻力损失，18世纪的工程师要做多少繁重的劳动并对各类管道进行逐一实验。而采用基于雷诺数的表述方法，不但流动的物理机制更为清晰，而且所涉及的工作量也会大幅度地减少。
最后，我们简单列举常见流动的雷诺数量级（按照数值排序），供同学们参考。
1. 细菌的流动：0.0001。
2. 游动的纤毛虫：0.1。
3. 极小的鱼：1。
4. 大脑中的血流：100。
5. 游泳运动员：4 × 106。
6. 海豚：4 × 108。
7. 大型舰船：5 × 109。
8. 热带气旋：1 × 1012。
值得一提的是，海豚游泳的速度如此之快，以至于其身体表面出现极低的低压区，并进一步产生空化泡，所产生的剧烈破坏作用促使它需要停下来（详见：趣说空泡（8）：为什么海豚不能游太快？）。
注释部分
注一： 奥斯本·雷诺于1883年发表的论文的详细信息和下载地址如下：
Reynolds, Osborne (1883). "An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous, and of the law of resistance in parallel channels". Philosophical Transactions of the Royal Society. 174: 935–982. doi:10.1098/rstl.1883.0029.
下载地址：https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rstl.1883.0029
注二：阿诺德·索末菲尔德（Arnold Sommerfeld）1908年在国际数学家大会上发表有关雷诺数论文的详细信息和下载地址如下：
Sommerfeld, Arnold (1908). "Ein Beitrag zur hydrodynamischen Erkläerung der turbulenten Flüssigkeitsbewegüngen (A Contribution to Hydrodynamic Explanation of Turbulent Fluid Motions)". International Congress of Mathematicians. 3: 116–124
下载地址：
https://web.archive.org/web/20161115133937/http://www.mathunion.org/ICM/ICM1908.3/Main/icm1908.3.0116.0124.ocr.pdf
