霍金与量子引力
左 芬
2018年3月20-22日
（按：史蒂芬·霍金于2018年3月14日逝世。彭罗斯次日为其撰写了讣告，对霍金的工作和生活进行了巨细无遗的介绍，但同时也毫不掩饰与其观点相左的地方，甚至对霍金的个人生活略有微词。讣告的中译版在知乎上有天文学同行给出了，感兴趣的朋友可前去翻阅。本文是在得知霍金去世的消息，并读了彭罗斯的讣告后，有所感触，信笔写下的，重点回顾和展望了霍金的工作。
本文提到了霍金关于黑洞信息丢失的工作。QuantamaGazine最近报道了这一问题上的最新进展，声称该问题已经接近解决，从而在各大物理论坛和博客上引起热议。但在读了文章后，你会发现这一所谓的进展不过是在堆砌一些时髦的名词，所谓解决不过是自欺欺人罢了，根本不值一哂。）
在物理学当前阶段，提到量子引力，很多同行可能都会望而却步，甚至悲观地哀叹余生都不可能见到其建立。然而，在彭罗斯为霍金所写的讣告中，我却读到这么一句：
“直到生命的结束，霍金还一直在继续研究量子引力问题，以及相关的宇宙学问题。”
相形之下，真是无地自容。
那么，量子引力真的难如登天么？大家对霍金的贡献已经耳熟能详了。让我们循着他的思路，看看到目前为止我们的认识到达了什么程度。我们的介绍方式将是启发性的，更多地借用类比和推广，从而远远不是严格的。我们分以下三方面来一一探索，分别是拓扑结构，黑洞熵对应的微观态，以及黑洞信息丢失。
在写之前，先声明一下，我本来是研究粒子物理的，所以对这篇短文所涉及到的数学、凝聚态物理、广义相对论、圈量子引力以及弦论方面的内容都只是一知半解，不能保证其准确性。想要深入了解的朋友，建议阅读相关的原始文献（我可以介绍一些）。
1. 拓扑结构
在广义相对论的早期发展过程中，整体的拓扑方法几乎从未被用到。然而，在证明黑洞奇点以及大爆炸奇点的存在性时，彭罗斯和霍金革命性地用到了某些拓扑理论。时空奇点的出现标志着广义相对论的失效，使得某种量子性的引力理论不可避免。既然奇点的存在性都依赖于拓扑方法，其具体形式似乎不可避免地表现为某种拓扑结构。于是我们可以合理地猜测：黑洞对应着某种非平庸的量子拓扑相的形成，而大爆炸则对应着某种量子拓扑相的破缺，破缺后的平庸相即为广义相对论意义下的时空几何。通俗地说，惠勒所猜测的量子泡沫可以在数学上严格地用某种量子拓扑相来刻画。
我在这里不加定义地用了量子拓扑和拓扑相的概念。量子拓扑在上世纪八十年代后期兴起，在数学界风靡一时，并突出地体现在几个关键性的进展上：琼斯关于纽结的琼斯多项式的发现（1985），德林费尔德对量子群的构建（1986），阿蒂亚提出公理化的拓扑量子场论（1988），以及威滕利用陈-西蒙斯场论对琼斯多项式的三维描述（1989），等等。然而，在物理学界这些进展的影响很小，仅仅在圈量子引力的圈子里留下了一些回音。不过三十年后的今天，我相信大部分同行都已经或多或少地听说过了拓扑相这个概念。这或许部分地源于以下两个奖项：
2016年度诺贝尔物理学奖的一半授予戴维·索利斯，另一半授予邓肯·霍尔丹与迈克尔·科斯特利茨，以表彰他们“在物质的拓扑相和拓扑相变方面的理论发现”。
2017年度奥利弗·巴克利凝聚态物质奖授予阿列克谢·基塔耶夫与文小刚，以表彰他们“拓扑序的理论及其在广泛的物理系统中的效应”。
不考虑严谨性，我们可以简单地把前者看成经典的拓扑相，而把后者视为量子的拓扑相。这里也可以借用一下王正汉的一个通俗（循环）定义：需要用某种路径积分来刻画的拓扑相可认为是量子的，反之则是经典的；例如琼斯多项式和分数量子霍尔效应其有效理论为威滕-陈-西蒙斯，因而是量子的，而由陈数定义的拓扑绝缘体则是经典的。
好了，有了这些准备，我们可以尝试解释为什么量子拓扑相变会有可能演生出引力了。对于传统的相变，我们可以系统地用朗道的对称性破缺框架来描述。在破缺相，某个场获得非零真空期望值（或称为粒子凝聚），破缺的对称性方向转化为真空上的无质量标量激发（戈德斯通波色子）。在凝聚态中，这表现为声子激发。一个自然的问题是，粒子凝聚的高维推广会实现何种相变，产生何种无质量激发？
2004年前后，文小刚及其合作者对这些问题进行了深入的探索。首先，他们发现一维物体（或称为弦网）的凝聚可以实现一大类量子拓扑相的真空。这一构造是如此的形象易懂，使得量子拓扑走下数学神坛，变成凝聚态物理学家们人人都可以把玩的具体模型。其次，在安德森等前人工作的基础上，他们猜想在某种极限下，弦网液体的无质量激发为规范波色子，例如光子。这些思想系统地表述在他的著作《多体系统的量子场论：从声子的起源到光子和电子的起源》一书中。一个直观的解释是，相比于固体中声子的纵向和横向激发模式，弦网液体只有横向激发，没有纵向激发（为什么？）。文及他人进一步考察了四维时空中的膜凝聚，发现等价于弦网凝聚，从而并不给出新的拓扑相。于是他猜测引力可能也是由一维凝聚产生的。
这里面有一个逻辑漏洞。在我们研究引力时，不应该事先设定时空维度，而应该由理论本身预言出来。简单的拓扑推理告诉我们，点要跑到二维面上才获得自由，线需要四维空间才能自由伸展（解开纽结），而面则需要六维世界才获得完全的自由（为什么？）。所以我们应该考虑六维世界中的膜凝聚。注意这并不违背现实观测，因为凝聚前的世界是我们不能直接探测的。有趣的是，《星际穿越》里就把通过虫洞后的世界设定成六维的。我没有读过索恩的后记，不知道他是通过什么考量做此设定的。如果四维时空中的一维凝聚给出的是规范理论，我们猜测六维世界中的二维凝聚给出引力。这可以分成两步实现：1，从六维世界的面凝聚为四维时空中的线；这里额外维的部分转化成真实时空中的隐藏自由度。我们后面将要看到，这里隐藏的自由度将表现为黑洞的熵。2，进一步的线凝聚给出某种特殊的规范理论。这种特殊的规范理论，就是我们后面要讲的圈量子引力。
在文小刚等人之后，基塔耶夫和孔良（2011）以及孔良（2013）等工作使得我们对一维凝聚以及与两维共形场论的关系有了相当程度的理解；而对于二维凝聚，我们的理解还相当肤浅。在这方面，威滕在传统量子场论框架下的一系列工作或许能有所启示。
2. 黑洞熵对应的微观态
先允许我再一次引用一下李·斯莫林在《通向量子引力的三条途径》(2000) 一书中的这段话：
“对物质的温度和熵的含义的探讨导致了原子的发现。对辐射的温度和熵的含义的探讨导致了量子的发现。以完全相同的方式，对黑洞的温度和熵的含义的探讨如今正导致空间与时间的原子结构的发现。”
从出版时间和书中前后文来看，这里的 “空间与时间的原子结构” 暗指圈量子引力。 好，让我们首先来看看圈引力是否实现了这一点。
我们知道，广义相对论是用度规和仿射联络来表述的，这会带来一点不便，就是我们没法直接描述旋量在时空中的运动。为了弥补这一点，我们需要引入标架场和相应的自旋联络。对于粒子物理出身的我，只好土土地把他们当成是局域洛伦兹变换下的电场和规范势。如果对广义相对论做正则量子化，标架和自旋联络并不构成正则对（为什么？），所以并不能简化量子化过程。但是考虑到手征旋量的存在，所以我们需要进一步考虑手征的自旋联络。结果表明，手征自旋联络和相应的标架场构成正则对（为什么），从而大大简化了引力的正则量子化。这样的思路看起来似乎非常自然。然而，从1960年前后阿诺维特-戴瑟-米斯纳直接对度规的正则量子化，到阿希提卡1986年利用手征自旋联络（或称为阿希提卡变量）对正则量子化过程的简化，我们等待了二十几年。阿希提卡变量的引入直接导致了圈引力的诞生。圈引力最初的成就在于提供了惠勒-德威特方程（约1965年提出）的解，而在度规表述下该方程过于复杂而完全无法入手。我们不打算详细描述这些内容，只简单的提一句：惠勒-德威特方程以及相应的解告诉我们四维时空与其三维边界是如何在拓扑上联系起来的。
其实我们到现在为止还没有给出圈引力的定义。简而言之，对阿希提卡变量和标架场做某种二次量子化，就得到了圈引力。这里的量子化过程，在很大程度上受到了格点规范场论的影响。所以这里的圈，实际上就是相应的威尔逊圈。
我们来看看圈引力里对应于黑洞熵的额外自由度来自哪儿。在经典广义相对论框架下，我们知道黑洞由几个守恒量完全确定，没有任何随机性，因而没有熵。用惠勒的话说，黑洞无毛。在圈引力中，由于引入了内部空间，内部空间上的洛伦兹变换表现为一种规范变换，因而对于给定的时空解是任意的，这带来了一定的随机性。这样的随机性是否能解释黑洞熵的面积率呢？这里首先要提醒大家，圈引力还没有完整的对黑洞的自洽描述。所以我们假设有了黑洞的存在，然后再来数在圈引力中对应的微观构型的数目。黑洞视界在圈引力里有一个非常形象的图像描述，看起来像一个刺猬。刺猬身上的刺就是我们为黑洞添加上的“毛”，对应着相应的标架场。这些刺的“长度”决定了对应的每一小块面积的大小（为什么？），而他们在内部空间中的取向则是完全任意的。量子化后，他们分别对应着规范群不可约表示的二阶卡西米尔值（的平方根）和相应的磁量子数。我们知道，对于SU(2)的不可约表示，如果前者为J（J+1），后者的可能取值数为2J+1。类似的推理告诉我们，无论如何，（量子化的）标架场的内部任意性只能带来随面积幂次增长的态数，从而给出的熵为面积的对数。所以，圈引力在目前的框架下无法解释黑洞熵的面积率。然而，这看似非常直接的推理和结论，却不是参与其中的人们所愿意接受和敢于面对的，包括阿希提卡、贝兹、罗韦利等在内的许多举足轻重的人物都坚持（或曾经坚持）相反的结论。值得一提的是，我国的孔令欣及其合作者曾在近年勇敢地指出这一巨大的缺陷。
以上结论与我们上次猜测的一般性框架是一致的，即一维凝聚并不提供足够的黑洞熵对应的微观态。
与此相对，弦论及相关方法的确在一些特殊情形对黑洞熵给出了公认的解释，这包括斯特鲁明格-瓦法研究的五维极端带荷黑洞（1996）、卡利普（1994）和斯特鲁明格（1997）研究的巴尼亚多斯-泰特尔鲍姆-扎内利黑洞，以及古伊卡-哈特曼-宋伟-斯特鲁明格研究的极端克尔黑洞（2008），等等。这些推导成功的共同原因在于他们都用到了两维共形场论，但是仍然有很多令人不太满意的地方。首先，他们都针对特殊的黑洞，从而缺乏普适性。这与我们对物质和辐射的热力学研究是截然不同的。其次，他们都只是某种半经典的结果，这常常表现在两个方面。其一，熵的推导是在正则系综下完成，从而并未给出具体的微观态。其二，没有量子化的面积的定义。与此相应的是，引力场并未被量子化。
总结一下，圈引力构建了一个量子引力的普适框架，却未能引入足够多的自由度来刻画黑洞；相反，弦论思路因为引入了两维共形场论，可以在某些特殊情形得到黑洞熵。一个自然的设想就是，能否把圈引力中的李代数结构做某种弦化（stringification）,使其变成某类两维共形场论的某种局域代数结构，从而可以一般性地解释黑洞熵？答案是肯定的，而且过程是非常标准的。由此得到的是韦斯-朱米诺-威滕模型，以及相应的仿射李代数（即李代数的圈代数的中心扩充）。
如何以一种背景无关的方式定义以洛伦兹群为内部对称群的韦斯-朱米诺-威滕模型，并进一步推出其与广义相对论的关系？这个问题过于复杂，我们暂且放下。我们先看看相应的仿射李代数能否提供足够多的内部自由度来解释黑洞熵。让我们仍然用前面的刺猬图来形象地说明这一点。在对圈引力引入以上弦结构后，刺猬身上的刺除了长度、方向之外，现在还有了“粗细”。由于粗细对应的维度是隐藏的，不同位置处的周长可以是完全不同的。但是考虑到其紧性，其取值是量子化的，比如自然数。一个自然的问题是，这一系列的周长值跟相应的长度是否有一定的关系？
为了回答这个问题，让我们回顾一下粒子凝聚的情形。此时我们得到无质量的粒子，表现在其四动量的时间和空间分量平方必须相等。在二维凝聚的情形，我们仍然希望得到某种没有特定标度的系统，所以得到的态必须具有标度不变性。为了满足这一点，我们希望系统的可见的维度（刺的长度）与不可见的维度（不同位置处的周长之和）存在某种等式。换句话说，我们希望视界上的每一块量子化面积都分解成隐藏维度上的一系列自然数。随着面积的增长，不同的分解方式的数目是巨大无比的，随面积呈指数式增长，其渐近项由著名的哈代-拉马努金公式给出。进一步考虑到阿希提卡变量的内部分量数，我们将得到一个推广的哈代-拉马努金公式，其对数可以一般性地给出贝肯斯坦-霍金熵。
熟悉弦论的朋友会发现，我在这里偷偷地借用了弦论中高级（level）激发谱的级密度公式，只不过换了一种物理解释而已。在弦论中，我们直接对粒子的运动坐标做弦化；弦的质心坐标的共轭变量为质心动量，其模方给出激发态的质量谱。在这里我们对手征自旋联络做弦化，其共轭变量为标架场，其模方给出的当然是不同面积激发的面积谱。一个自然的问题是，弦论中对时空维度的强制性约束在这里是如何回避的？有兴趣的读者可以尝试去思索一下。
3. 黑洞信息丢失
首先让我们陈述一下这个问题。我们没有讨论霍金的著名工作，即通过弯曲时空中的量子场论计算，发现黑洞会辐射出各种粒子，并最终消失。辐射谱类似于高温物体的热辐射谱，其温度由黑洞的表面引力决定。正是通过这一发现，黑洞熵的存在才被人们普遍接受。黑洞信息丢失似乎是霍金辐射的自然推论，其表述如下：设法使得一团物质处于量子纯态（一组力学量完全集的共同本征态），坍缩形成黑洞，然后完全辐射掉，最终剩下一大堆热辐射。热辐射需要用一个巨大的热密度矩阵来描述，所以显然不再是纯态。这直接违背了量子力学的幺正性要求。通俗地说，我们从一个完全确定的态出发，得到了一个非常不确定的态，所以丢失了许多初始的信息。
似乎很多人都把这一问题看成对现存理论体系的极大威胁，竭尽全力想要去弥补。从历史的角度看，旧的理论体系中不可调和的矛盾往往预示着一场伟大的理论革新的到来。在这方面，上世纪初的以太疑难和紫外灾难就是很好的前车之鉴。
在我看来，以上对信息丢失的逻辑推理至少存在两个漏洞：
在以上推理中，把时空完全当成了旁观者轻巧地抹去了，而只单独考虑物质的演化。我们可以通过一个很好的类比来看清这一点。我们知道，一个孤立的运动电子是不会发光的，因为违背能动量守恒。但是在外加的电场（例如原子核的库仑场）中，可以从库仑场吸取动量，从而产生韧致辐射。如果我们抛开外场，孤立地看电子辐射的过程，当然会得出结论：能动量守恒被破坏了。类比到黑洞，我们会猜测：在物质和时空的整体系统中，信息并未丢失。
但这并不是问题的全部！我们还有一种更激进的方式来看待这个问题。
在推理过程中，我们在一定意义上假设了时间的永恒性，这样才有连续的随时间的演化。但这显然是不对的！无论如何，当黑洞形成时，时空在通常广义相对论框架下的意义已经不存在。我们前面说过，可以把她当成一种不平庸的拓扑相。你可以把她想象成最简单的拓扑激发，如瞬子，那么显然时间被冻结了。量子力学要求幺正的时间演化，但是，如何时间都不存在，幺正性演化从何谈起？正是从这个角度出发，彭罗斯和早年的霍金提出现存的量子力学体系需要被革新。彭罗斯近年（2014）更提出了一个革命性的口号：我们不但需要“引力的量子化”，还需要 “量子力学的引力化”。然而，正如讣告中提到的，晚年的霍金从一个积极的革命者退缩成了一个迟疑的保守者，并收回了黑洞信息丢失的论断。对此，彭罗斯深表惋惜。
既然我们猜测黑洞可能是某种非平庸的拓扑相，就应该由某种拓扑量子场论来刻画。那么拓扑量子场论是否能告诉我们量子力学的幺正性时间演化是否会被破坏呢？对此，对拓扑量子场论做出过巨大推动的约翰·贝兹曾认真审视过这一点。他的结论是：“拓扑改变的缺席意味着幺正的时间演化。”（贝兹 2004）这当然是一种委婉的说法，其言下之意是，只要有拓扑改变，就可能甚至必然有幺正性时间演化的破坏。这可以看成彭罗斯长期以来的许多定性论断的一种严格表述。最后需要提到，拓扑量子场论中提到的幺正性与量子力学所要求的幺正性截然不同。
好了，写到这里，我们承诺的三部分内容都已经大致完成了。从这篇短文所涉及到的内容可以看到，量子引力已经深深地蔓延到了物理学的各个分支，并且在极力地呼唤着新的数学理论的介入。我们似乎可以预见，对这个问题的探索和最终解决极有可能导致物理学的新的统一，甚至现代物理学与数学的再次融合。从这个意义上说，无论你研究的是物理学的哪个分支，你事实上都未能置身其外。所以，正视她并积极地投身其中吧，像霍金一样！
