下学期4。4同角三角函数的基本关系式

　　同角三角函数的基本关系式
　　教学目标：
　　1 ．掌握同角三角函数之间的三组常用关系，平方关系、商数关系、倒数关系．
　　2 ．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式．
　　教学重点：
　　理解并掌握同角三角函数关系式．
　　教学难点：
　　已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；
　　教学用具：
　　直尺、投影仪．
　　教学步骤：
　　1 ．设置情境
　　与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．
　　2 ．探索研究
　　（ 1 ）复习任意角三角函数定义
　　上节课我们已学习了任意角三角函数定义，如图 1 所示，任意角    的六个三角函数是如何定义的呢？
　　在    的终边上任取一点    ，它与原点的距离是    ，则角    的六个三角函数的值是：
　　；    ；
　　；    ；
　　（ 2 ）推导同角三角函数关系式
　　观察    及    ，当    时，有何关系？
　　当    且    时    、    及    有没有商数关系？
　　通过计算发现    与    互为倒数：     ．
　　由于    ，
　　这些三角函数中还存在平方关系，请计算    的值．
　　由三角函数定义我们可以看到：        ．
　　，现在我们将同角三角函数的基本关系式总结如下：
　　①平方关系：
　　②商数关系：
　　③倒数关系：
　　即同一个角    的正弦、余弦的平方和等于 1 ，商等于角    的正切，同一个角的正切、余切之积等于 1 （即同一个角的正切、余切互为倒数）．上面这三个关系式，我们称之为恒等式，即当    取使关系式两边都有意义的任意值时，关系式两边的值相等，在第二个式中，    在第三个式中，    的终边不在坐标轴上，这时式中两边都有意义，以后解题时，如果没有特别说明，一般都把关系式看成是意义的．其次，在利用同角三角函数的基本关系式时，要注意其前提＂同角＂的条件．
　　（ 3 ）同角三角函数关系式的应用
　　同角三角函数关系式十分重要，应用广泛，其中一个重要应用是根据一个角的某一个三角函数，求出这个角的其他三角函数值．
　　【例 1 】已知    ，且    是第二象限角，求    ，    ，    的值．
　　解：     ，且    ，     是第二或第三象限角．
　　如果    是第二象限角，那么
　　如果    是第三象限角，那么    ，
　　说明：本题没有具体指出    是第几象限的角，则必须由    的函数值决定    可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论．
　　【例 2 】已知    ，求    的值．
　　解：    ，且    ，    是第二或第三象限角．
　　如果    是第二象限角，那么
　　如果    是第三象限角，那么    ．
　　说明：本题没有具体指出    是第几象限角，则必须由    的函数值决定    可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论．
　　【例 3 】已知    为非零实数，用    表示    ，    ．
　　解：因为    ，所以
　　又因为    ，所以
　　于是
　　由    为非零实数，可知角    的终边不在坐标轴上，考虑    的符号分第一、第四象限及第二、三象限，从而：
　　在三角求值过程中应尽量避免开方运算，在不可避免时，先计算与已知函数有平方关系的三角函数，这样可只进行一次开方运算，并可只进行一次符号说明．
　　同角三角函数关系式还经常用于化简三角函数式，请看例 4
　　【例 4 】化简下列各式：
　　（ 1 ）    ；（ 2 ）    ．
　　解：（ 1 ）     （ 2 ）
　　3 ．演练反馈（投影）
　　（ 1 ）已知：    ，求    的其他各三角函数值．
　　（ 2 ）已知    ，求    ，    ．
　　（ 3 ）化简：
　　解答：（ 1 ）解：     ，所以    是第二、第三象限的角．
　　如果    是第二象限的角，则：
　　又
　　如果    是第三象限的角，那么
　　（ 2 ）解：           是第二或第四象限的角
　　由【例 3 】的求法可知当    是第二象限时
　　当    是第四象限时
　　（ 3 ）解：原式
　　4 ．本课小结
　　（ 1 ）同角三角函数的三组关系式的前提是＂同角＂，因此    ，    ……．
　　（ 2 ）诸如    ，    ，……它们都是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义．
　　（ 3 ）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．
　　课时作业：
　　1 ．已知    ，    ，则    等于（   ）
　　A ．    B ．    C ．    D ．
　　2 ．若    ，则    的值是（   ）
　　A ．－ 2 B ． 2 C ．  2 D ．
　　3 ．化简
　　4 ．化简    ，其中    为第二象限角．
　　5 ．已知    ，求    的值．
　　6 ．已知    是三角形的内角，    ，求    值．
　　参考答案： 1 ． D ；  2 ． B ；  3 ． 1 ；  4 ．    ；  5 ． 3 ；  6 ．
　　注： 4 ．略解：原式
　　在第二象限
　　．
　　6 ．略解：
　　由    ，平方得，    ，
　　是三角形内角
　　只有
　　，
　　由
　　及    ，联立，得：    ，    ，