第十章实数简介

　　课程教材研究所　左怀玲
　　从《数学课程标准》看，关于数的内容，第三学段主要学习有理数和实数，它们是＂数与代数＂领域的重要内容。对于有理数和实数，本套教课书安排3章内容，分别是7年级上册第1章＂有理数＂，7年级下册第10章＂实数＂和9年级上册第21章＂二次根式＂。本章是在有理数的基础上认识实数，对于实数的学习，除本章外，还要在＂二次根式＂一章中通过研究二次根式的运算，进一步认识实数的运算。
　　本章的主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算．通过本章的学习，学生对数的认识就由有理数的范围扩大到实数范围，本章之前的数学内容都是在有理数范围内讨论的，学习本章之后，将在实数范围内研究问题．虽然本章的内容不多，篇幅不大，但在中学数学中占有重要的地位，本章内容不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备．
　　本章教学时间约需8课时，具体分配如下（仅供参考）：
　　10．1　平方根　　　 3课时
　　10．2 立方根　　　　　 2课时
　　10．3　实数　　　　　　　　　　　　　　　　　2课时
　　数学活动
　　小　结 　　　　1课时
　　一、教科书内容和课程学习目标
　　（一）本章知识结构框图
　　1．本章知识的内在结构如下图所示：
　　2．本章知识的展开顺序如下图所示：
　　（二）教科书内容
　　本章主要内容包括算术平方根、平方根、立方根以及实数的有关概念和运算．本章的重点是算术平方根和平方根的概念和求法，本章难点是平方根和实数的概念．
　　教科书的第一节是平方根，本节先研究算术平方根，再研究平方根。教科书首先创设一个问题情景，抽象出这个情景中的数学问题，即已知正方形的面积求边长的问题，这是一个典型的求算术平方根的问题，这与学生以前熟悉的已知边长求面积是一个互逆的过程。通过对这类问题的探讨，引出算术平方根，给出算术平方根的概念和它的符号表示，这时教科书所涉及到的被开方数都是完全平方数．接下去，教科书设置一个＂探究＂栏目，要求学生将两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，并求出这个大正方形的边长。这也是一个已知正方形的面积求它的边长的问题，由于这个大正方形的面积为2，根据前面学过的算术平方根的概念和表示方法，可以求出这个大正方形的边长是，这样教科书就引进了用根号形式表示的无理数（不出现无理数的概念），这是教科书第一次出现这样的数．另外，通过学生将两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形的活动，也使学生感受到无理数是从现实世界中抽象出来的，是一种不同于有理数的数．出现以后，一个很自然的问题，就是要讨论的大小。教科书采用夹逼的方法，利用不足近似和剩余近似来估计的大小，通过一步一步的估计，得到越来越精确的的近似值，进而指出是一个无限不循环小数的事实，同时指出，，等也是无限不循环小数等，这就为后面认识无理数打下基础。会使用计算器求数的算术平方根是本章的一个教学要求，教科书通过一个例题，介绍了使用计算器求算术平方根的方法，并利用计算器进一步说明了是无限不循环小数这个结论，加深学生对无理数的认识。用有理数估计无理数的大小，也是学习本章应该注意的一个问题，教科书结合一个实际例子介绍了用有理数估计无理数的常用方法．到此为止，教科书讨论了有关算术平方根的内容，包括算术平方根的概念、求法，无限不循环小数以及用有理数估计无理数等内容。接下去，教科书设置一个＂思考＂栏目，展开了对平方根的讨论。在这个＂思考＂栏目中，要求学生算出平方等于9的数，通过对这个问题的探讨，找到解决问题的方法，利用这种方法进一步求出平方等于1，16，36…的数，由此归纳给出平方根的概念，进而引出开平方运算。开平方运算与平方运算是互逆运算，教科书通过举例分析了这两种运算的互逆过程，并用图示进一步说明。最后，教科书结合具体例子，通过具体计算一些数的平方根，探讨了数的平方根的特征，并通过一个＂归纳＂栏目，要求学生自己归纳给出＂正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根＂等这些数的平方根的特征．
　　教科书第二节是立方根。对于立方根，教科书采用了类似平方根的方法进行讨论．首先设置一个问题情景，从这个问题情景中抽象出数学问题，就是已知立方体的体积求它边长的问题，这是一个典型的求数的立方根的问题。这样教科书就从这个典型问题引出立方根的概念和开立方运算。接下去，类比着平方运算与开平方运算的互逆关系，探讨了立方运算与开立方运算的互逆关系，并通过一个＂探究＂栏目，学习求数的立方根的方法。在这个＂探究＂栏目中，要求学生分别计算一些正数、负数和0的立方根，通过这些计算，一方面让学生学习利用立方与开立方的互逆关系求立方根的方法，另一方面也为下面探讨数的立方根的特征作准备。紧接着这个＂探究＂栏目，教科书设置了一个＂归纳＂栏目，由学生归纳给出＂正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0＂等这些数的立方根的特征．最后，教科书介绍了立方根的符号表示，并利用这种符号表示探讨了立方根的一条性质（）。
　　学习了平方根、立方根以及开方运算后，教科书在第三节安排了实数。本节首先设置一个＂探究＂拦目，要求学生将一些有理数转化为小数的形式，分析这些小数的共同特点，通过分析发现有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式，然后指出反过来的结论也成立，即任何有限小数和无限循环小数都是有理数，这样教科书就将有理数与有限小数和无限循环小数统一起来。在此基础上可以指出，像、 、等只能化成无限不循环小数的数就是无理数，从而引出无理数的概念。教科书采用这种与有理数对照的方法引出无理数，有利于揭示有理数和无理数的本质区别，也有助于学生理解＂有理数和无理数统称实数＂这个构造性定义。接下去，教科书根据不同的标准对实数进行分类，揭示实数的内部结构．随着无理数的引入，实数概念的出现，数的范围由有理数扩充到实数，在这个扩充过程中，既体现了概念、运算等的一致性，又体现了它们的发展变化。教科书通过几方面的例子说明了这种一致性和发展变化。首先，教科书通过探究在数轴上画出表示和的点，说明了无理数也可以用数轴上的点来表示，并指出当数由有理数扩充到实数后，直线上的点与实数就是一一对应的、平面上的点与有序实数对也是一一对应的；接下去，教科书通过设置思考问题，让学生体会，在有理数范围内成立的一些概念（如绝对值、相反数等）在实数范围内仍然成立；最后，教科书结合具体例子说明，有理数的运算（如加、减、乘、除、乘方运算等），以及运算律、运算性质（如交换律、分配律、结合律等）在实数范围内仍然成立，并且可以进行新的运算（如正数和0可以进行开平方运算）等．
　　与原教科书相比，本章内容在原教科书＂数的开方＂一章的基础上，适当增加了有关实数运算的内容（实数的运算在本套书＂二次根式＂一章继续学习），说明了平面内点与有序实数对一一对应以及在实数范围内的平移变换等；从内容安排上看，改变原教科书先讲平方根，将算术平方根作为平方根一种特例的做法，而是从实际出发，先讲算术平方根，再扩大到平方根，加强了与实际的联系；在教学目标方面，强调所有学生都应会使用计算器进行开方运算，加强对估算的要求等。
　　（三）课程学习目标
　　1．了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；
　　2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；
　　3．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大到实数后，一些概念、运算等的一致性及其发展变化；
　　4．能用有理数估计一个无理数的大致范围．
　　二、本章编写特点
　　（一）加强与实际的联系
　　本章内容与实际的联系是非常密切的．例如，无理数是从现实世界中抽象出来的一种数，开平方运算和开立方运算也是实际中经常用到的两种运算，用有理数估计无理数的大小在现实生活中经常遇到等等．因此，本章内容在编写时注意联系实际，对于一些重要的概念和运算紧密结合实际生活展开，例如算数平方根是从已知正方形的面积求它边长、立方根是从已知立方体的体积求它边长等典型的实际问题引出的，再如用有理数估计无理数的大小也是紧密结合实际进行的．编写时，将本章内容与实际紧密联系起来，可以使学生在解决实际问题的过程中，认识实数的有关概念和运算，更好地体会数的扩充过程中表现出来的概念、运算等的一致性和发展变化．
　　（二）加强知识间的纵向联系
　　本章内容属于＂数与代数＂这个领域，有关数的内容，学生在七年级上册已经系统学过有理数，对有理数的概念和运算等有了较深刻的认识，本章是在有理数的基础上学习实数的初步知识，由于数的扩充的一致性，本章很多内容是有理数相关内容的延续和推广，因此，本章编写时，注意加强知识间的相互联系。例如，对于绝对值和相反数的概念，实数的运算法则和运算性质，平方与开平方、立方与开立方的互为逆运算关系等都是在有理数的基础上展开的。另外，本章前两节 ＂平方根＂＂立方根＂在内容上基本是平行的，因此，编写＂立方根＂这节时，充分利用了类比的方法，例如类比平方根的概念的引入方式给出立方根的概念，类比开平方运算给出开立方运算，类比平方与开平方运算的互逆关系研究立方与开立方运算的互逆关系等。这样的编写方法，有助于加强知识间的相互联系，通过类比旧知识学习新知识，使学生的学习形成正迁移．
　　（三）留给学生探索交流的空间
　　根据本章内容的特点，对于一些重要的概念和结论，编写时注意了让学生通过观察、思考、讨论等探究活动归纳得出结论的过程．例如，对于平方根概念的引入，教科书首先通过一个问题情景，引出已知面积求边长的问题，接下去又让学生通过填表的方式，计算几个不同面积的正方形的边长，使学生感受到这些问题与以前学过的已知边长求面积的问题是一个相反的过程，并由此指出，这些问题抽象成数学问题就是已知一个正数的平方，求这个正数是几的问题，并在此基础上给出算术平方根的概念，这样就让学生通过一些具体活动，在对算术平方根有些感性认识的基础上归纳给出这个概念．再比如，在讨论数的立方根的特征时，教材首先设置＂探究＂栏目，在栏目中以填空的方式让学生计算一些具体的正数、0、负数的立方根，寻找它们各自的特点，通过学生讨论交流等活动，归纳得出＂正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数＂的结论，这样就让学生通过探究活动经历了一个由特殊到一般的认识过程，在探究活动的过程中发展思维能力，有效改变学生的学习方式．
　　三、几个值得关注的问题
　　（一）把握教学要求
　　本册书对于某些内容采用提前渗透、逐步提高的编写方式．例如，对于平面直角坐标系，在第6章＂平面直角坐标系＂中研究了点与有序数对的对应关系，其中点的坐标都是整数，在本章将把点的坐标由整数的情形扩展到实数范围，并建立点与有序实数对的一一对应关系，为后续学习函数的图象、函数与方程和不等式的关系等打下基础．
　　对于平移变换，教课书在第5章＂相交线与平行线＂中安排了一节＂平移＂，探讨得出＂平移前后的两个图形的对应点的连线平行且相等＂等平移变换的基本性质，又在第6章＂平面直角坐标系＂中安排了用坐标方法研究平移的内容，从坐标的角度进一步认识平移变换，这时平移中遇到的坐标都是整数的情况．在本章，由于建立了点与有序实数对的一一对应关系，本章又在实数范围内研究平移的内容，为后续学习利用平移变换探索几何性质以及综合运用几种变换（平移、旋转、轴对称、相似等）进行图案设计等打下基础．
　　本章还通过一个例题学习了实数的简单运算，安排这个例题的目的是要说明有理数的运算法则和运算性质等在实数范围内仍然成立，关于实数的运算在后面的＂二次根式＂一章中还要继续研究．
　　另外，本章也提前渗透了一些数学思想和方法．比如，本章的数学活动1，涉及到勾股定理的内容，让学生利用勾股定理，在数轴上画出表示几个无理数的点．这里只是结合无理数渗透了勾股定理，关于勾股定理以后还要进行专门的研究．综上所述，本章教学时要注意把握教学要求，以一种发展的、动态的观点看待教学要求，不能要求一次到位．
　　（二）发挥计算器的作用，加强估算能力的培养
　　使用计算器进行复杂运算，可以使学习的重点更好地集中到理解数学的本质上来，估算是一种具有实际应用价值的运算能力．提倡使用计算器进行复杂运算，加强估算，综合运用笔算、计算器和估算等方式培养学生的运算能力，是本章的一个教学要求．为了达到这个教学目的，本章专门安排了利用计算器求数的平方根和立方根以及利用有理数估计无理数的大致范围等内容．因此，教学中可以结合具体内容，综合利用各种途径培养学生的运算能力．
　　（三）重视人文教育
　　无理数的出现引发了数学史上的第一次危机，是数学发展史上的重要里程碑。无理数的发现经历了一个漫长而艰苦的过程，在发现无理数的过程中，体现了人类为追求真理而不懈努力的精神。因此教学时，可以结合无理数的发现，挖掘数学知识的文化内涵，使学生感受丰富的数学文化的熏陶，开阔他们的眼界，增长他们的见识。
　　另外，本章编写时注意加强与实际的联系，在选择素材时，力求选取学生感兴趣的和富有时代气息的实际问题。例如，本章选择了我国神舟5号载人飞船取得圆满成功的素材，通过这个素材可以使学生从数学的角度更多地了解航天知识，培养学生的民族自豪感和爱国主义情操，激励学生更加努力地学习，这样使学生在学习数学的同时，也得到了人文方面的教育