组合

　　教学目标
　　（1）使学生正确理解的意义，正确区分排列、问题；
　　（2）使学生掌握数的计算公式、数的性质用数与排列数之间的关系；
　　（3）通过学习知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力；
　　（4）通过对排列、问题求解与剖析，培养学生学习兴趣和思维深刻性，学生具有严谨的学习态度。
　　教学建议
　　一、知识结构
　　二、重点难点分析
　　本小节的重点是的定义、数及数的公式，数的性质。难点是解的应用题。突破重点、难点的关键是对加法原理与乘法原理的掌握和应用，并将这两个原理的基本思想贯穿在解决应用题当中。
　　与数，也有上面类似的关系。从 n 个不同元素中任取 m （ m   n ）个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中任取 m 个元素的一个。所有这些不同的的个数叫做数。从集合的角度看，从 n 个元素的有限集中取出 m 个组成的一个集合（无序集），相当于一个，而这种集合的个数，就是相应的数。
　　解排列应用题时主要应抓住是排列问题还是问题，其次要搞清需要分类，还是需要分步．切记：排组分清（有序排列、无序），加乘明确（分类为加、分步为乘）．
　　三、教法设计
　　1 ．对于基础较好的学生，建议把排列与的概念进行对比的进行学习，这样有利于搞请这两组概念的区别与联系．
　　2 ．学生与老师可以合编一些排列问题，如＂ 45 人中选出 5 人当班干部有多少种选法？＂与＂ 45 人中选出 5 人分别担任班长、副班长、体委、学委、生委有多少种选法？＂这是两个相近问题，同学们会根据自己身边的实际可以编出各种各样的具有特色的问题，教师要引导学生辨认哪个是排列问题，哪个是问题．这样既调动了学生学习的积极性，又在编题辨题中澄清了概念．
　　为了理解排列与的概念，建议大家学会画排列与的树图．如，从 a,b,c,d 4 个元素中取出 3 个元素的排列树图与树图分别为：
　　排列树图
　　由排列树图得到，从 a,b,c,d  取出 3 个元素的所有排列有 24 个，它们分别是： abc,abd,acb.abd,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc. …… dca,dcb.
　　树图
　　由树图可得，从 a,b,c,d 中取出 3 个元素的有 4 个，它们是 (abc),(abd),(acd),(bcd).
　　从以上两组树图清楚的告诉我们，排列树图是对称的，图式不是对称的，之所以排列树图具有对称性，是因为对于 a,b,c,d 四个字母哪一个都有在第一位的机会，哪一个都有在第二位的机会，哪一个都有在第三位的机会，而只考虑字母不考虑顺序，为实现无顺序的要求，我们可以限定 a,b,c,d 的顺序是从前至后，固定了死顺序等于无顺序，这样就有了自己的树图．
　　学会画树图，不仅有利于理解排列与的概念，还有助于推导数的计算公式．
　　3 ．排列的应用问题，教师应从简单问题问题入手，逐步到有一个附加条件的单纯排列问题或问题，最后在设及排列与的综合问题．
　　对于每一道题目，教师必须先让学生独立思考，在进行全班讨论，对于学生的每一种解法，教师要先让学生判断正误，在给予点播．对于排列、应用问题的解决我们提倡一题多解，这样有利于培养学生的分析问题解决问题的能力，在学生的多种解法基础上教师要引导学生选择最佳方案，总结解题规律．对于学生解题中的常见错误，教师一定要讲明道理，认真分析错误原因，使学生在是非的判断得以提高．
　　4 ．两个性质定理教学时，对定理 1 ，可以用下例来说明：从 4 个不同的元素 a ， b ， c ， d 里每次取出 3 个元素的及每次取出 1 个元素的分别是
　　这就说明从 4 个不同的元素里每次取出 3 个元素的与从 4 个元素里每次取出 1 个元素的是—一对应的．
　　对定理 2 ，可启发学生从下面问题的讨论得出．从 n 个不同元素    ，    ，…，    里每次取出 m 个不同的元素（    ），问：（ 1 ）可以组成多少个；（ 2 ）在这些里，有多少个是不含有    的； （ 3 ）在这些里，有多少个是含有    的；（ 4 ）从上面的结果，可以得出一个怎样的公式．在此基础上引出定理 2 ．
　　对于    ，和    一样，是一种规定．而学生常常误以为是推算出来的，因此，教学时要讲清楚．
　　教学设计示例
　　教学目标
　　（ 1 ）使学生正确理解的意义，正确区分排列、问题；
　　（ 2 ）使学生掌握数的计算公式；
　　（ 3 ）通过学习知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力；
　　教学重点难点
　　重点是的定义、数及数的公式；
　　难点是解的应用题．
　　教学过程设计
　　（－）导入新课
　　（教师活动）提出下列思考问题，打出字幕．
　　［字幕］一条铁路线上有 6 个火车站，（ 1 ）需准备多少种不同的普通客车票？（ 2 ）有多少种不同票价的普通客车票？上面问题中，哪一问是排列问题？哪一问是问题？
　　（学生活动）讨论并回答．
　　答案提示：（ 1 ）排列；（ 2 ）．
　　［评述］问题（ 1 ）是从 6 个火车站中任选两个，并按一定的顺序排列，要求出排法的种数，属于排列问题；（ 2 ）是从 6 个火车站中任选两个并成一组，两站无顺序关系，要求出不同的组数，属于问题．这节课着重研究问题．
　　设计意图：与排列所研究的问题几乎是平行的．上面设计的问题目的是从排列知识中发现并提出新的问题．
　　（二）新课讲授
　　［提出问题  创设情境］
　　（教师活动）指导学生带着问题阅读课文．
　　［字幕］ 1 ．排列的定义是什么？
　　2 ．举例说明一个是什么？
　　3 ．一个与一个排列有何区别？
　　（学生活动）阅读回答．
　　（教师活动）对照课文，逐一评析．
　　设计意图：激活学生的思维，使其将所学的知识迁移过渡，并尽快适应新的环境．
　　【归纳概括   建立新知】
　　（教师活动）承接上述问题的回答，展示下面知识．
　　［字幕］模型：从    个不同元素中取出    个元素并成一组，叫做从    个不同元素中取出    个元素的一个．如前面思考题： 6 个火车站中甲站 乙站和乙站 甲站是票价相同的车票，是从 6 个元素中取出 2 个元素的一个．
　　数：从    个不同元素中取出    个元素的所有的个数，称之，用符号    表示，如从 6 个元素中取出 2 个元素的数为   .
　　［评述］区分一个排列与一个的关键是：该问题是否与顺序有关，当取出元素后，若改变一下顺序，就得到一种新的取法，则是排列问题；若改变顺序，仍得原来的取法，就是问题．
　　（学生活动）倾听、思索、记录．
　　（教师活动）提出思考问题．
　　［投影］    与    的关系如何？
　　（师生活动）共同探讨．求从    个不同元素中取出    个元素的排列数    ，可分为以下两步：
　　第 1 步，先求出从这    个不同元素中取出    个元素的数为    ；
　　第 2 步，求每一个中    个元素的全排列数为    ．
　　根据分步计数原理，得到
　　［字幕］公式 1 ：
　　公式 2 ：
　　（学生活动）验算    ，即一条铁路上 6 个火车站有 15 种不同的票价的普通客车票．
　　设计意图：本着以认识概念为起点，以问题为主线，以培养能力为核心的宗旨，逐步展示知识的形成过程，使学生思维层层被激活、逐渐深入到问题当中去．
　　【例题示范   探求方法】
　　（教师活动）打出字幕，给出示范，指导训练．
　　［字幕］例 1  列举从 4 个元素    中任取 2 个元素的所有．
　　例 2  计算：（ 1 ）    ；（ 2 ）    ．
　　（学生活动）板演、示范 .
　　（教师活动）讲评并指出用两种方法计算例 2 的第 2 小题．
　　［字幕］例 3  已知    ，求    的所有值 .
　　（学生活动）思考分析．
　　解   首先，根据的定义，有
　　①
　　其次，由原不等式转化为
　　即
　　解得    ②
　　综合①、②，得    ，即
　　［点评］这是数公式的应用，关键是公式的选择．
　　设计意图：例题教学循序渐进，让学生巩固知识，强化公式的应用，从而培养学生的综合分析能力．
　　【反馈练习   学会应用】
　　（教师活动）给出练习，学生解答，教师点评．
　　［课堂练习］课本 P99 练习第 2 ， 5 ， 6 题．
　　［补充练习］
　　［字幕］ 1 ．计算：
　　2 ．已知    ，求   .
　　（学生活动）板演、解答．
　　设计意图：课堂教学体现以学生为本，让全体学生参与训练，深刻揭示排列数公式的结构、特征及应用．
　　【点评矫正   交流提高】
　　（教师活动）依照学生的板演，给予指正并总结．
　　补充练习答案：
　　1 ．解：原式：
　　2 ．解：由题设得
　　整理化简得    ，
　　解之，得    或    （因    ，舍去），
　　所以    ，所求
　　［字幕］小结：
　　1 ．前一个公式主要用于计算具体的数，而后一个公式则主要用于对含有字母的式子进行化简和论证．
　　2 ．在解含数的方程或不等式时，一定要注意数的上、下标的限制条件．
　　（学生活动）交流讨论，总结记录．
　　设计意图：由＂实践——认识——一实践＂的认识论，教学时抓住＂学习—一练习——反馈———小结＂这些环节，使教学目标得以强化和落实．
　　（三）小结
　　（师生活动）共同小结．
　　本节主要内容有
　　1 ．概念．
　　2 ．数计算的两个公式．
　　（四）布置作业
　　1 ．课本作业：习题 10 3 第 1 （ 1 ）、（ 4 ）， 3 题．
　　2 ．思考题：某学习小组有 8 个同学，从男生中选 2 人，女生中选 1 人参加数学、物理、化学三种学科竞赛，要求每科均有 1 人参加，共有 180 种不同的选法，那么该小组中，男、女同学各有多少人？
　　3 ．研究性题：
　　在    的    边上除顶点    外有  5 个点，在    边上有  4 个点，由这些点（包括    ）能组成多少个四边形？能组成多少个三角形？
　　（五）课后点评
　　在学习了排列知识的基础上，本节课引进了概念，并推导出数公式，同时调控进行训练，从而培养学生分析问题、解决问题的能力．
　　作业参考答案
　　2 ．解；设有男同学    人，则有女同学    人，依题意有    ，由此解得    或    或 2 ．即男同学有 5 人或 6 人，女同学相应为 3 人或 2 人．
　　3 ．能组成    （注意不能用    点为顶点）个四边形，    个三角形．
　　探究活动
　　同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，那么四张不同的分配万式可有多少种？
　　解   设四人分别为甲、乙、丙、丁，可从多种角度来解．
　　解法一   可将拿贺卡的情况，按甲分别拿乙、丙、丁制作的贺卡的情形分为三类，即：
　　甲拿乙制作的贺卡时，则贺卡有 3 种分配方法．
　　甲拿丙制作的贺卡时，则贺卡有 3 种分配方法．
　　甲拿丁制作的贺卡时，则贺卡有 3 种分配方法．
　　由加法原理得，贺卡分配方法有 3+3+3=9 种．
　　解法二   可从利用排列数和数公式角度来考虑．这时还存在正向与逆向两种思考途径．
　　正向思考，即从满足题设条件出发，分步完成分配．先可由甲从乙、丙、丁制作的贺卡中选取 1 张，有    种取法，剩下的乙、丙、丁中所制作贺卡被甲取走后可在剩下的 3 张贺卡中选取 1 张，也有    种，最后剩下 2 人可选取的贺卡即是这 2 人所制作的贺卡，其取法只有互取对方制作贺卡 1 种取法．根据乘法原理，贺卡的分配方法有    （种）．
　　逆向思考，即从 4 人取 4 张不同贺卡的所有取法中排除不满足题设条件的取法．不满足题设条件的取法为，其中只有 1 人取自己制作的贺卡，其中有 2 人取自己制作的贺卡，其中有 3 人取自己制作的贺卡（此时即为 4 人均拿自己制作的贺卡）．其取法分别为    1 ．故符合题设要求的取法共有    （种）．
　　说明（ 1 ）对一类元素不太多而利用排列或计算公式计算比较复杂，且容易重复遗漏计算的排列问题，常可采用直接分类后用加法原理进行计算，如本例采用解法一的做法．
　　（ 2 ）设集合    ，如果 S 中元素的一个排列    满足    ，则称该排列为 S 的一个错位排列．本例就属错位排列问题．如将 S 的所有错位排列数记为    ，则    有如下三个计算公式（李宇襄编著《数学》，北京师范大学出版社出版）：
　　①
　　②
　　③