下学期4。10正切函数的图象和性质1

　　4.10 正切函数的图象和性质
　　第一课时
　　（一）教学具准备
　　直尺、投影仪．
　　（二）教学目标
　　1．会用＂正切线＂和＂单移法＂作函数 的简图．
　　2．掌握正切函数的性质及其应用．
　　（三）教学过程
　　1．设置情境
　　正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数，它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性，为了更好研究其性质，我们首先讨论 的作图．
　　2．探索研究
　　师：请同学们回忆一下，我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的．
　　生：在单位圆上取终边为 （弧度）的角，作出其正弦线 ，设 ，在直角坐标系下作点 ，则点 即为 图像上一点．
　　师：这位同学讲得非常好，本节课我们也将利用单位圆中的正切线来绘制 图像．
　　（1）用正切线作正切函数图像
　　师：首先我们分析一下正切函数 是否为周期函数？
　　生：
　　是周期函数， 是它的一个周期．
　　师：对，我们还可以证明， 是它的最小正周期．类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图像，下面我们利用正切线画出函数 ， 的图像．
　　作法如下：①作直角坐标系，并在直角坐标系 轴左侧作单位圆．
　　②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．
　　③找横坐标（把 轴上 到 这一段分成8等份）．
　　④找纵坐标，正切线平移．
　　⑤连线．
　　图1
　　根据正切函数的周期性，我们可以把上述图像向左、右扩展，得到正切函数 ， 且 （ ）的图像，并把它叫做正切曲线（如图1）．
　　图2
　　（2）正切函数的性质
　　请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．
　　①定义域：
　　②值域
　　由正切曲线可以看出，当 小于 （ ）且无限亲近于 时， 无限增大，即可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作 （读作 趋向于正无穷大）；当 大于 且无限接近于 ， 无限减小，即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大，我们把这种情况记作 （读作 趋向于负无穷大）．这就是说， 可以取任何实数值，但没有最大值、最小值．
　　因此，正切函数的值域是实数集 ．
　　③周期性
　　正切函数是周期函数，周期是 ．
　　④奇偶性
　　， 正切函数是奇函数，正切曲线关于原点 对称．
　　⑤单调性
　　由正切曲线图像可知：正切函数在开区间（ ， ）， 内都是增函数．
　　（3）例题分析
　　【例1】求函数 的定义域．
　　解：令 ，那么函数 的定义域是
　　由  ，可得
　　所以函数 的定义域是
　　【例2】不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
　　（1） 与 ；
　　（2） 与 ．
　　解：（1）
　　又   ，在 上是增函数
　　（2）
　　又   ，函数 ， 是增函数，
　　即 ．
　　说明：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到 的同一单调区间内，利用 的单调递增性来解决．
　　3．演练反馈（投影）
　　（1）直线 （ 为常数）与正切曲线 （ 为常数且 ）相交的相邻两点间的距离是（ ）
　　A． B． C． D．与 值有关
　　（2） 是 的（ ）
　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
　　C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
　　（3）根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角 集合
　　① ②
　　参考答案：
　　（1）C．注： 与 相邻两点之间距离即为周期长
　　（2）D．注：由 ，但 ，反之 ，但
　　（3）①
　　②
　　4．总结提炼
　　（1） 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得 上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。
　　（2） 性质．
　　定义域
　　值域
　　周期
　　奇偶性
　　单调增区间
　　对称中心
　　渐近线方程
　　奇函数
　　， 
　　（四）板书设计课题……
　　1．用正切线作正切函数图像
　　2．正切函数的性质例1
　　例2
　　演练反馈
　　总结提炼