《算学启蒙》是中国古代重要数学著作,元朱世杰(见《四元玉鉴》)撰,大德三年(1299)在扬州刊刻,此刊本已不存。此书曾传至朝鲜、日本,朝鲜有李朝世宗十五年(1433)的庆州府刻本,清顺治十七年(1660)朝鲜全州府尹金始振的翻刻本。在国内却长期失传。清道光间罗上琳作《四元玉鉴细草》,闻此书,深以未见为憾,“闻朝鲜以是书为算科试士”,遂请人于北京寻获金刻本。道光十九年(1839)由阮元作序在扬州刊刻。后又有光绪八年(1882)醉六堂本、二十一年(1895)上海著易堂石印本、江南制造局本及测海山房中西算学丛刻本。
本书包括了从乘除法运算及其捷算法到开方、天元术、方程术等当时数学各方面的内容,由浅入深,形成了一个较完整的体系。正文之前,先列出九九乘法歌诀、归除歌诀、斤两化零歌、筹算识位制度、大小数进位法、度量衡制度及田亩换算、圆田诸率、正负数加减法则、正负数乘法法则、开方法则等18条作为总括,是为全书的预备知识,其中正负数乘法法则是在中国数学著作中也是世界上第一次出现。而各种捷算歌诀比杨辉的更加完整、通畅,尤其是九归除法诀,与流传至今的珠算口诀几乎完全一致,是中国数学著作中第一次出现与今 一致的口诀,而九归歌诀的出现,表明珠算产生的算法条件最后完成了。
本书正文分3卷,20门,259问。卷上8门:纵横因法是乘数为一位的乘法,8问;身外加法是乘数首位为1的乘法,11问;留头乘法是多位乘法,20问;身外减法是除数首位为1的除法,11问;九归除法用归除歌诀解决多位除法,29问;异乘同除是比例问题,8问;库务解税是利息税收问题,11问;折变互差是复杂的比例问题,15问;凡113问。其中第1—5门有若干乘除捷算法及其歌诀,也比杨辉更进了一步,有的与后来的珠算歌诀很相近。许多问题反映了元代的社会经济情况。
卷中7门:田亩形段是各种形状的田亩面积问题,16问:仓囤积粟是粮仓容积的计算问题,9问;双据互换是复比例问题,6问;求差分和是和差及鸡兔同笼等问题,9问;差分均配是比例分配问题,10问;商功修筑是土木工程中的体积计算,13问;贵贱反率是其率、反其率问题,8问;凡71问。
卷下5门:之分齐同是各种分数计算,9问;堆积还元是各种高阶等差级数求和问题,14问;盈不足术,9问;方程正负,同《九章算术》方程术,仍用直除法,未用互乘相消法,9问;开方释锁,用天元术列方程并求其正根的问题,其中处理了开方过程中系数变号问题,34问,凡75问。
本书是一部良好的数学教材。杨辉的“习算纲目”(《乘除通变本末》)提出了数学教学计划,但教材上不系统,只能借用《五曹》、《应用算法》、《九章算术》等。本书则把当时的初、中级数学知识由乘除运算到天元术、开方术编纂成系统的读物,有方法,有例题,分门别类,比“习算纲目”更高一筹。
