保持简单
在日常生活中，有许多现象是按照一定的规律，依次不断重复出现的，比
如每周七天，从星期一开始，到星期日结束，总是以七天为一个循环周期的。我
们把这种现象叫做周期现象。我们把周而复始循环出现的规律性问题，称为周期
一、基本知识点
1、含义
我们把连续两次出现所经过的个数叫做周期。周期问题中我们首先要寻找重
复体，重复体有几个数，那说明周期就是几。
2、常用公式
总量÷周期=组数„„（余数）
无余数：本组的最后一个
有余数：下一组的余数个
3、题型
（1）求某一个是什么
（2）求某一种的个数
（3）周期求和
（4）日期中的"星期几"问题（起始日）
4、解题思路
关注余数
（1）画示意图。
（2）找周期。找出规律，找出周期，即多少个（次）又出现重复。
（3）列除法算式。用总量除以周期。
（4）求解。如果没有余数，就正好是整数个周期，结果为周期里的最后一
个；如果有余数，看余数，余几就是周期里的第几个；如果不是第一个开始循环，
可以从总量里减掉不循环的个数后，再继续算。
5、顺口溜
周期问题并不难，除法算式来帮忙。
列式之前别忙算，先找每组有几个。
每组有几除以几，算出余数便知道。
余几就是第几个，没有余数找末尾。
二、一张思维导图归纳总结
三、经典应用
例 1、园林工人在公园的小路边种树，他们按 2 棵榕树、3 棵椰树、1 棵松
树的顺序来排列，一共有 50 棵树，那么榕树、椰树、松树各种了几棵？
【分析】（1）找周期：分析题意可知，这排树的排列规律是 2+3+1=6 棵树一
个循环周期，分别是 2 棵榕树、3 棵椰树、1 棵松树的顺序栽种。所以周期长度
=6；（2）根据公式总量÷周期=组数„„（余数）可求出几组周期及剩下的数是
哪几种数。
【解答】50÷6=8（组）„„2（棵）
余下的 2 棵树是榕树。
榕树：8×2+2=18（棵）
椰树：8×3=24（棵）
松树：8×1=8（棵）
答：榕树种了 18 棵，椰树种了 24 棵，松树种了 8 棵。
例 2、沿着学校的一条小路的一侧植树，两头都要植树，每隔 5 米植 1 棵树，
马路长 300 米，学校为了绿化校园环境，决定按照 3 棵杨树、2 棵柳树、1 棵槐
树的顺序依次植树。问一共要植树多少棵？其中多少棵杨树？多少棵柳树？多少
棵槐树？
【分析】（1）先解决植树问题。"在小路的一侧植树，两头都要植树"表明
这是非封闭图形两端植树问题，棵树=间隔数+1=全长÷棵距+1，可以先求出一共
植树多少棵。
（2）接下来是周期问题，3 棵杨树、2 棵柳树、1 棵槐树为一个周期，一个
周期共有 3+2+1=6 棵树。根据公式总量÷周期=组数„„（余数）可求出几组周
期及剩下的数是哪几种数。
【解答】共植树：300÷5+1=61（棵）
周期：61÷6=10（组）„„1（棵）
共 10 个周期，还多 1 棵树，多的这 I 棵树是杨树。
杨树：10×3+1=31（棵）
柳树：10×2=20（棵）
槐树：10×1=10（棵）
答：一共要植树 61 棵，其中杨树 31 棵，柳树 20 棵，槐树 10 棵。
例 3、一圆形池塘一圈长 1000 米，在它的周围从 A 点开始每隔 50 米安装一
个路灯，每隔 10 米植一棵树，有路灯的地方不能植树，植树按照 5 棵悬铃木、4
棵银杏、3 棵杨树的顺序依次种植，请问一共有多少个路灯？多少棵树？其中多
少棵悬铃木多少棵银否？多少棵杨树？
【分析】（1）一圆形池塘是封闭图形，所以棵树=间隔数。根据有路灯的地方
（2）周期问题：这些树按照 5 棵悬铃木、4 棵银杏、3 棵杨树的顺序种植，
12 棵树为一个周期。根据公式总量÷周期=组数„„（余数）可求出几组周期及
剩下的数是哪几种数。
【解答】路灯个数：1000÷50=20（个）
植树棵树：1000÷10-20=80（棵）
周期：80÷12=6（组）„„8（棵）
共 6 个周期，余下的 8 棵树是 5 棵悬铃木和 3 棵银杏。
悬铃木：6×5+5=35（棵）
银杏：6×4+3=27（棵）
杨树：6×3=18（棵）
答：一共有 20 个路灯和 80 棵树，其中悬铃水 35 棵，银杏 27 棵，杨树 18 棵。
例 4、大雪后的一天，小明和爸爸共同测一个圆形花圃的周长。他们的起点
和走的方向完全相同。小明的平均步长 54 厘米，爸爸的平均步长 72 厘米。由于
两人的脚印有重合，并且他们走了一圈后都回到起点，这时雪地上只留下 60 个
脚印，这个花圃的周长多少米？
【分析】因他们的起点和走的方向完全相同，也就是一前一后的走，脚印一
定有重合的，即重合在两人步子长度的公倍数上，所以先求出他们步长的最小公
倍数，再求出他们脚印重合时的步数，然后再根据周期及最小公倍数求出这条路
的长度，也就是花圃的周长。
【解答】54 和 72 的最小公倍数是 216，
第一次两人脚印重合时，
爸爸走的步数：216÷72=3（步）
小明走的步数：216÷54=4（步）
应重合的次数：60÷（3+4-1）=10（次）
花圃周长：10×216=2160（厘米）=21.6 米
答：这个花圃的周长 21.6 米。
