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上一讲,我们以一道面积小题入手,介绍了4种精彩解法,进入了反比例函数的期末复习,本讲,我们继续对反比例函数中的一些典型题,易错题,分成5大板块进行归纳,相信读完本文后,期末考试中的相关内容你肯定可以搞定.
一、反比例函数的概念及性质
例1:
y与x成反比例,x与z成正比例,则y是z的______函数?
分析:
解答:
变式:
分析:
本题与例1类似,还是需要设解析式,注意取不同的k.
解答:
例2:
分析:
本题很多同学条件反射,选择了②③,写了2个.但问题是,反比例函数的增减性,增加了一句非常关键的话,在每一象限内!因为反比例函数有两支,并非是连续的,x≠0,而且,其增减性可谓与一次函数相反,k>0,在每一象限内,y随x的增大而减小,k<0,在每一象限内,y随x的增大而增大.
解答:
1个,仅②
变式:
分析:
解答:
二、画图象,比大小
例3:
分析:
本题若利用特殊值法,分别设3个数表示x1,x2,x3,显得较为繁琐,而利用增减性去考虑,又涉及到不再同一象限,因此,最直观的方法是采用画图象法.
解答:
变式:
分析:
解答:
图象同上,y3<y1<y2.
例4
分析:
本题中,k的值不确定,但两个点的横纵坐标的大小关系已经确定,因此,我们可以在坐标系中大致画出点A,点B的位置,点A在第三象限,点B在第一象限,k>0
解答:
三、用好对称性
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形.有两条对称轴:直线 y=x 和y=-x.有一个对称中心:原点.其中,中心对称应用十分广泛!
例5
分析:
本题,部分同学会这么做,把正比例函数与反比例函数解析式求出来,再联立方程组求另一个交点.但显然,这样的方法非常繁琐,而利用对称性则非常简单,y=mx为过原点的一条直线,而反比例函数也关于原点中心对称,所以两个交点必然关于原点对称.注意,两个点此时的横纵坐标都互为相反数.
解答:
(1,2)
例6:
分析:
解答:
变式:
分析:
本题可以直接利用对称性解决,A,B两点必
关于原点对称,x1=-x2,y1=-y2,但要想办法把所要求的式子作变形处理,使式子变成其中含有一个交点的横纵坐标之积的形式.
解答:
四、与一次函数图象综合
例7:
分析:
由题意,一次函数与反比例函数的k是同一个k,显然,图象(或图象的部分)一定会出现在同两个象限呢,因此,我们可以说,“k相同,必相交”,排除D,再根据一次函数图象与y轴交点为(0,3),排除B,C.
解答:
A
变式:
分析:
由题意,此时一次函数与反比例函数的k不同了,一个是k,另一个是-k,因此图象不会相交,排除B,易知y=k(x-1)一定过点(1,0),所以排除A,D
解答:
C
小结:
这类题,笔者采用了一定的技巧,比如“k相同,必相交”,再如y=k(x-a)+b,这样的函数必过点(a,b),若不用这些技巧,则应该先选定一个函数,比如反比例函数的,根据它的k来判断经过哪些象限,再去确定一次函数经过哪些象限.
五、不等式与面积专题
例8:
分析:
本题可以说是反比例函数的典型题了,包括了求解析式,求面积,对称性,求不等式,描图象等内容,综合性较强,相信你这题全部能不错,则期末考试相关题型肯定能拿下!
(1)由点A坐标,确定反比例函数解析式,由点B横坐标,代入反比例函数中,求得纵坐标,与点A一起代入一次函数解析式,求出解析式.
(2)利用铅锤法,求出AB与y轴交点C的坐标,则△AOB的面积看作△AOC与△BOC的面积之和.
(3)利用点B与点D中心对称,求出点D坐标,进而可用三种方法求△AOD面积.
(4)根据图象,可以描出反比例函数纵坐标大于1的部分,求出此时对应的横坐标的范围,注意临界点.
(5) 一次函数值大于反比例函数值,即反比例函数的图象在一次函数图象的上方,此时,遮住一次函数图象下方的区域,描出反比例函数图象仍旧可见的部分,即可写出范围!
解答: