网上经常有人以为1+1=2是不可证明的公理，另一部分把1+1=2和陈景润证明的1+2弄混，以为这是很高端的数学难题，这两种看法，在“越简单越基础就越神秘越深奥”思维的支持下，席卷网络，成为很多人的错误观念。
首先说明，1+2,不是 1+1=2，这是个命题简称，是哥德巴赫猜想的衍生命题“大于6的偶数总可以写成1个素数与2素数积的和”的简称而已，后者是个数论领域的顶级难题，前者，是幼儿园大班孩子就学到的。
当然，幼儿园大班学到，不代表我们都知道怎么证明，所以才有把1+1=2当公理的嘛。
一个体系，公理的选择不是唯一的，就像物理学中，把第一类永动机不存在做公理，或者把能量守恒定律做公理，都可以推导出对方，对方就将作为定理、推论而存在。我们以下的证明，是基于皮亚诺公理体系、加法定义来证明1+1=2的。
皮亚诺公理体系
公理1 0是一个自然数。
公理2 如果 n 是自然数，则 S(n) 也是自然数。
注释：S(n) 就代表n的“后继数”，也就是n向上再数一个，比如S（3）=4，S（7）=8，S（k）=k+1
公理3 0不是任何一个数的后继
公理4 若 n 与 m 均为自然数且 n ≠ m，则 S(n) ≠ S(m)。
公理5 设 P(n) 为关于自然数 n 的一个性质。如果 P(0) 正确，且假设 P(n) 正确，则 P(S(n)) 亦真实。那么 P(n) 对一切自然数 n 都正确。
加法被定义为这样的运算：
1 对于任意自然数m，0 + m = m
2 对于任意自然数 m 和 n，S(n) + m = S(n + m)
证明：
1 + 1
= S(0) + 1 （根据皮亚诺公理）
= S(0 + 1) （根据加法定义2）
= S(1) （根据加法定义1）
= 2 （根据皮亚诺公理）
