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模型 | 一“模”多变之“将军饮马,最短路径...

【导入】:

唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说:

“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”

诗中隐含着一个有趣的数学问题.

在平面几何中,涉及最值问题的相关定理或公理有:① 线段公理:两点之间,线段最短. 并由此得到三角形三边关系;  ②垂线段的性质:从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短.  

在一些“线段和最值”的问题中,通过翻折、旋转、平移变换,把一些线段进行转化即可应用 ①② 的基本图形,并求得最值,这类问题一般被称之为“将军饮马”模型。

【模型总结及例题讲解】--小编从四个角度具体分析

01:

定点与定直线

线段和最小值问题,可通过变换(轴对称变换、旋转变换、平移变换)将动点变换到异侧且有公共点,构造三角形,从而运用三角形的两边之和大于第三边--两点之间线段最短),来解决线段最值问题。看上述表格:我们举出反例(点P"),此时,点A、P"、B构成一个三角形,则转化为三角形三边关系;

【延伸】:

以下三种情况(定点与定直线)也可看为另一种(定点与定角)

例题讲解】:

视频1:(包含1道例题、1道变式训练题)

视频2:(包含1道例题、2道变式训练题)

【有时候定直线是隐含的】-两个定点一个动点和两个动点一个定点

02:

定点与定角

例题讲解】:

视频1:(包含1道例题、1道变式训练题)

图文1:(包含6道例题

一定两动两直线:

图文2:(包含4道例题

两定两动两直线:[变式训练题可查看模拟考及期末测试卷]

03:

两定点与一定长

例题讲解】:

图文1:(沈阳市2019年中考第25题)

04:

三动点-直线型与圆弧型

直线型:从而得到一个重要结论:

锐角三角形的所有内接三角形中,垂足三角形周长最小

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