很多学生在初中时觉得数学很简单，中考失分不会超过十分。但一到高中数学成绩立刻就掉下来了，甚至在第一学期的期中考试中，数学成绩可能就不及格了。其中原因很多，例如学生中考之后松懈了，对高中知识掉以轻心了。但我认为，高中数学固有的难度，本身就是导致学生进入高中之后数学学习吃力的重要原因。高中数学一上来就相对初中数学抽象程度提高了很多，学生感到不适应。
在此，我把高一上学期函数部分学习所要遇到的主要难点整理出来，希望能对高一学生有所帮助。
1.函数的概念
高中用集合语言和对应关系刻画函数概念，就是一个难点。原因在于：
（1）集合语言本身就具有抽象性，学生掌握不好；
（2）对应关系是什么，严格定义不适合高中给，同时映射的概念又被删除了，图示法需要补上来。
否则很多学生对函数的理解还局限于有解析式的函数，抽象程度不够。后面学习指数函数，对数函数，三角函数，虽然是有解析式的，但这些解析式依赖的运算本身就具有抽象性。如果对应关系理解不好，后面学习这些具体函数都会有困难。
2. 函数的图像
初中画函数图像是列表，描点，连线，当然对于陌生的函数就应该采用这种方法画图像，可是对于熟悉的函数，我们是知道其大概形状的，而且解决问题时我们只需要知道大概形状就够了，不需要去列表，描点，连线。熟练掌握各种常见函数图像的大致形状，实现数形结合，对于理解常见函数的性质特别有帮助。
3. 分段函数
学不懂的学生会认为分段函数的表示形式同时有两个（或多个）解析式，认为这两个解析式是“或”的关系。对分段函数的准确理解还是要建立在“对应关系”的理解上。
4. 单调性概念
学生对于一次函数，二次函数，反比例函数的单调性在初中就已经知道（只不过没引入单调这两个字），而且在物理课，化学课上，已经频繁运用这些特殊函数的单调性。但是对于一般的单调性概念的定义，学生感到难于理解：里面使用了全称量词，使用了集合语言，使用了抽象的f记号。必须让学生意识到：抽象性带来的便利是换取一般性，很多实际问题中我们关心的就是单调性，例如气温关于时间的变化，爬山时高度随时间的变化，这些问题从数学上都可以利用单调性统一处理。
基于解析式和单调性证明单调性，这项工作是必不可少的。不应该因为学了导数之后，这些问题可以得到很简单的处理，然后这一块就简要跳过。基于解析式证明单调性，需要对整式，分式，根式的代数变形有很强的把控能力，是巩固提高代数能力的必要途径。后面通过求导研究单调性虽然便捷，但其实有一个大的漏顶：求导公式多数在高中是不能证的，所以这种方法是不够尽如人意的（至少对于追求严谨性的学生是如此）。
6. 最值的概念
最大值和最小值的概念学生也是早有接触，但是严格定义也是这块给的。学生需要理解最值的严格定义。否则很多求最值的方法都理解不到位。（包括函数的最值，数列的最值，给定条件下多元函数的最值，以及有限集中元素的最值）
7. 奇偶性的概念
奇偶性的概念相对于单调性的概念要简单。但是奇偶性的几何意义要比单调性的几何意义复杂。单调性是局部性质，奇偶性是全局性质。奇偶性与函数图像对称性的关系，建议对程度好的学生给出严格证明。而且要突出奇偶性与函数图像对称性的关系是等价的。
8.幂运算
高中引入了一般的实数指数幂，其中的难点在于有理指数幂和实数指数幂的概念。有理指数幂是借助一般开方运算定义的，实数指数幂的定义则借助逼近的思想，这里面已经渗透了极限的概念了。我在讲解实数指数幂时会借助excel表实现直观表示。
幸运的是，实数指数幂的全部运算性质与整数指数幂的运算性质一样。学生在初中对整数指数幂的运算性质是熟悉的。所以即使学生对有理指数幂和实数指数幂的概念理解不到位，他们在进行字母基础上的幂运算时，遇到的困难不大。
9. 对数运算
与幂运算相比，对数运算对学生完全是一种崭新的运算，其定义又严重依赖于实数指数幂的定义和指数函数的图像，后续的性质在形式上又令学生感到陌生。而且学生后续学习中用到对数运算的机会又不多，这导致对数运算成为学生学习中的一个大的难点。
相对于幂运算和对数函数运算来说，指数函数和对数函数由于图像比较简单，学生借助图像理解其性质显得不是那么困难。其单调性不需要分段，相对二次函数都简单。但是学到这一块时，常常会将新学的指数函数和对数函数与二次函数复合，研究复合函数的性质。学生这块会感到吃力。但吃力的原因是因为对函数的复合理解困难，对函数的复合理解困难，是因为对函数的对应关系概念理解困难。只靠解析式来理解函数，那么这块解析式有了一定的复杂性，恐怕效果就不好了。
