我这教案并无任何前沿

理论没有实践支撑等于空中楼阁，你要提倡一个理念，至少你自己需要实践一番或者提供一个可资参考的案例，否则是很难令人信服的。

如所周知，大学时光很短暂，需要学习的东西很多，除了必学且不能精简学时的公共课，无论是基础课还是专业课的学时都大大压缩了。不仅如此，除了少数985大学的学生不必花太多时间操心未来的出路，绝大多数高校尤其是地方高校的学生一旦到了大四便躁动不安，为未来的出路忧心如焚，有多少心思用在学习上？压缩学时，本科似专科恐怕是众多地方高校的常态。举例来说，我教的“实变函数”课程从最早的72学时到后来的48学时再到现在的32学时，削减了一半还多。这样的课怎么教？是降低要求走马观花般让学生欣赏一遍还是削减内容按正常进度讲多少算多少？或者提高速度任凭学生自生自灭？抗议于事无补，考虑如何应对这种挑战才是现实的。

数学不同于其它学科，其逻辑是环环相扣的，缺了哪一环都很难连上。如果科普式的讲，结果必然是肤浅的，学生什么也学不到。

所以一开始我就在思考一个问题：以什么方式讲才能尽展实变函数的精髓？灵机一动，想到了课题式教学。课题式教学并非像百度解释的那样根据教学内容设计一些课题让学生去做，那纯属瞎胡闹！所谓课题式教学是指将每一个教学单元当成一个课题进行教学，这就需要清楚什么叫课题。但凡写过项目书做过课题的人都知道，做研究首先需要找到合适的问题，围绕着这些问题需要回答几个问题：

1、为什么要研究这些问题？它们的重要性体现在哪里？

2、围绕着相关的问题已有哪些研究？上述问题与已有的研究有什么不同？

3、拟研究问题的难点是什么？解决的可能途径是什么？

上述三个问题是撰写立项书时必写的内容，一篇文章的完成本质上也是围绕着这些问题展开的，而且通常需要在文章的引言部分阐述清楚。如果教师能根据教学内容寻找到即将讲授内容之所以产生的问题，并且课堂围绕着对这些问题的发现、分析与解决开展，这样的教学就是所谓的课题式教学。至于课堂的形式是以教师讲授为主还是以学生参与为主则要视具体的内容而定。那种动辄非师生你来我往的“互动”不足以显出学生的主体作用的说法纯属机械的教条主义。而真正的互动是教师紧紧抓住学生的心，让学生跟着教师畅游在思维的海洋里，而不是那种形式上热热闹闹实际上毫无意义的师生共同参与。我不相信以学生的知识积累与认知能力能胜任那种独立的再发现。

 课题式教学不仅可以有效地实现数学的再创造，而且极大地增加了课堂的弹性，教师可以根据实际的课时量决定每个章节的详细程度又不失知识的完整性与深度。但课题式教学需要学生的积极配合，虽然一门课程的学时数可能会发生变化，但掌握这门课程必要的时间是不可少的，压缩了课堂的学时，课外就需要花更多的时间。在课时不够的情况下，教师牺牲掉的是知识的细节，重点是帮助学生解决课程的难点，挖掘知识背后的东西，而系统的知识与细节则需要学生课后花更多的时间去完善。

最近打算帮助学过实变函数马上读研究生的学生重温实变函数，这样的课与本科生的课又有所不同，更多的是反思。用一个时髦的词来形容：“翻转课堂”，以下是完全不像教案的教案：

Part 1  微积分与实变函数的比较

Part 2  现代数学的里程碑

Part 3  概率论的救世主

Part 4  病态的函数与全新的思想

Part 5  积分学的里程碑

Part 6  牛顿与莱布尼兹的遗憾

Part 1  微积分与实变函数的比较

问题1. 既生微积分，何生实变函数？

       1. 微积分号称数学史上最伟大的发明创造，它是万能的吗？它给我们留下了什么遗憾？仅就函数而言，自然科学与数学中出现的函数有什么是微积分无能为力的？

       2. 黎曼积分导致很多不可积函数，也使得积分与极限交换顺序等问题变得很复杂，导致这些问题的根源是什么？可以通过改造黎曼积分的定义解决这些问题吗？

问题2. 追踪一下勒贝格发明勒贝格积分的足迹，揣摩一下他为什么想到对函数的值域做分割来定义积分？

1. 从黎曼积分的定义能否看出对函数的可积性有什么样的要求？

2. 由对函数定义域的分割转向对函数值域的分割将带来什么？

尽管是重温，我也没有结合“前沿”的打算，学生能搞清楚这些问题或许比知道一点前沿更有价值。