对称性自发破缺的高维推广
浅谈光与引力的代数起源
左 芬
2021年3月16日
前些天在国内一些引力同行的邀请下，文小刚先生（以下简称文）为国内学者做了一个在线演讲，题为“电磁波和引力波的量子信息起源”。B站上有“量子沙龙”的录播可供观看。虽然这是文一直以来的研究和演讲主题，但出人意料的，这一次他把主要的精力放在讨论几个具体的格点模型上面，即所谓的“量子转子”模型。因为模型过于细节化，估计很多听众都听得云里雾里。哪怕是我本人，对这些模型当年曾经具体分析过的，都觉得太过琐碎，以致这背后本来美妙的原理被掩盖了。所以我在这里试图解释一下他的动机以及理念。
历史上看，电磁理论在最初提出来的时候，人们就一直试图找出其本体，从而将其类似于声音来理解。所以麦克斯韦本人花了很多年时间来构建所谓的机械模型来产生光。这种思想在后来的以太概念上还可以略见一斑。以太观念被实验排除后，光来源于某种物质的振动的思想逐渐消亡。我们把光视为一种基本物质，独立于任何客体而存在。
不过这种观念在现代凝聚态物理的“呈展论”世界观下是站不住脚的。于是凝聚态的人们自然会继续追问其起源，或者试图在凝聚态系统中人为实现其性质，即所谓的“人造光”。这一点，突出地体现在文的《多体系统的量子场论》一书的副标题中：“从声子的起源到光子和电子的起源”。以一句更时髦的话来说，就是构建一种“量子以太”。文的这些想法并非是异想天开，其背后是有强大的物理和数学框架为支持的。下面我们尝试用通俗的语言来解释一下。
我们从声子开始。声子是声波的无质量激发粒子，且是标量粒子。对称性自发破缺的戈德斯通定理告诉我们，每有一个方向的连续对称性被自发破缺掉，会产生一个无质量的标量粒子，或称戈德斯通玻色子。这里要着重指出的是，这一过程是局域的，或者说是时空无关的。也就是说，原对称群和破缺后的子群都作用在时空的同一点上，发生改变的只是场构型的内部空间。在凝聚态中，常把这一机制称为粒子凝聚，在某种意义上也是为了强调其局域性。因为戈德斯通粒子必然是标量粒子，这一过程显然不能产生光子或者引力子，如果后者存在的话。
因此，如果以上思路正确的话，我们需要拓展对称性和李群的概念。事实上，相应的数学结构已经经历了大半个世纪的发展，因而部分地成熟了。不过，为了通俗易懂起见，我们不引入这些结构，而直接从具体例子入手。
首先，电磁理论的现代观念是，它是以U(1)为规范群的一种规范理论，电磁场的行为可以用相应的规范场来刻画。规范场处于规范群的伴随表示中，而元电激发和元磁激发则表现为规范群的基础表示。如果不是简单的U(1)群，而是任意的U(N)群，在大N展开里，我们常常把伴随表示用基础和反基础表示的直积来等价表述，这就是特霍夫特的“双线规则”：
图一 规范理论费曼图的双线规则
在U(1)的情况下我们当然不能直接这么做。但它给了我们一种启示，即用物质的两个表示以一种特别的方式结合起来构建电磁场，换句话说，将电磁场视为U(1)e×U(1)m的一些特殊表示的叠加态。特别地，我们可以把前一因子视为电激发的，后一因子视为磁激发的。因为无源电磁场是电磁对偶的，我们应该取两个子群因子的表示相同。现在我们把所有这些对角表示(n,n)等几率叠加起来。然后我们声称，这一特殊的叠加态⊕n(n,n)可以作为一种新的真空，来实现某种新的“对称性破缺”。于是问题变成，这种新真空究竟实现了何种对称性的破缺？
你可能会想当然地认为，既然这一新真空是电磁对偶的，结果不就是把U(1)e×U(1)m破缺到其对角子群吗？没有这么简单。通常来说，李群和李群的所有表示是等价的：从李群原则上当然可以得出其表示，而有了所有表示，也可以重建出李群，虽然不是那么直接。后者在数学上一般称为淡中-克雷恩重建定理。可是，李群是很刚性的对象，而其表示集合则相对松散；如果对后者进行了某些操作，想再重建为一种新李群的表示往往不太可能。在我们的情形下，就是说将⊕n(n,n)当作新的恒等表示，很难将原表示集合重建为U(1)e×U(1)m的一个子群的表示。
当然这并不构成一个证明。不过我们可以换一个角度来思考。我们前面说过，对称性破缺过程是局域的，不依赖于时空。而在现在的情形下，这一新的凝聚过程是依赖于时空的。这里不详细介绍细节，只是定性说明一下。设想如图一右侧所示，我们有一个带边的流形。这时内部态是新的真空⊕n(n,n)，但是边界是单线的，且只能是电的，或是磁的。其原因在于，内部时空取向决定了边界取向。于是在边界处，电磁之间的对偶极大程度地破坏了。通常的对称性自发破缺或者是粒子凝聚是不可能表现出这种跟时空的相关性的。文把这种推广的凝聚过程称为“弦网凝聚”，并猜想这种新真空会产生光子，甚至引力子。当然，这并没有得到证明或是实验上的支持。不过，至少边界上的电磁对偶极大破坏，跟磁单极至今未被观测到这一点是相符的。
那么引力呢？首先我们纠正一点，从“引力子”的角度来探讨引力的起源是片面的。引力子源于引力的微扰量子化，而这种量子化方案是违背广义相对论的基本原理的。对引力直接进行非微扰量子化处理，得到的就是圈量子引力。
如果你知道文的弦网凝聚思想的来源之一就是圈量子引力中的自旋网络，那么类似的思想可以用到引力就丝毫不令人吃惊了。这里我们不详细展开，只简单地给出结论。粒子物理的朋友会很熟悉强相互作用中的手征对称性破缺以及相应的戈德斯通玻色子π介子。具体说来，就是从味对称群SU(2)L×SU(2)R破缺到其对角子群SU(2)V。跟文的弦网凝聚类似，我们也可以考虑其表示集合中的凝聚，并取新真空为对角表示的叠加⊕j(j,j)。这跟手征对称性破缺是完全不同的，我曾在高能所的一次报告中对比过这两种破缺过程的差别。圈引力有一些工作表明，这种新的凝聚过程可以得出4维欧式量子引力。我曾提出一些猜想，指出将SU(2)替换为SO(2,1)，得出的应是物理的量子引力，并且其存在两维共形场论描述。
必须指出，弦网凝聚图像至今并没能解决任何实际问题。我曾在此次讲座中问文，对规范理论的这种新图像是否有助于我们理解杨-米尔斯质量隙问题，或者说强相互作用的色禁闭问题。他的答案是不能，因为新图像只是高能区域的完备化，对低能现象帮助不大。
