我在《Zmn-0307》[1]中对数学分析和集合论中有关无穷的研究进行了一些比较，认为两者是有矛盾的。薛先生在《Zmn-0313》[2]中认为我的观点不正确。做了一些的评论。仔细看了薛先生的评论后，我觉得真理应该是越辩越明的，所以讨论很有意义。为此，我对他的评论作了回答。 为方便阅读，特写成对话形式：
(一)，关于研究对象的普遍性。
我：数学分析中的无穷并未限定于具体的研究对象，所以可以研究任意无限现象，集合论中的无穷研究以无限集（即集合中元素数目不是有限的集合）中元素数目为对象。
薛：这段话不符合事实，恰恰相反。数学分析是研究【实数集】上的各种属性的，如函数，极限，微分和积分等，都是基于【实数集】上的。而集合论则是研究任何集合的，具有更高的普遍性。因而集合论是在更普遍的意义下研究【任意的集合】的属性，如序数，基数等，这些更具有普遍性。它的研究成果自然也适用于【实数集】。不仅如此，集合论不仅作为数学分析的基础，他还是所有数学分支的基础。
我：我讨论的是无穷问题，薛先生却用一般意义上的“各种属性”来进行反驳，是一回事吗？
(二) 关于一一对应
我：一一对应原先只用于有限集合，但康托将其推广到无限集合。其推广的可靠性并没有得到过严格的证明，反而产生了诸如“整体等于部分”等矛盾。
薛 集合同它的真子集是两个不同的集合，并不【相等】。集合论中证明的无穷集同它的某个真子集一一对应，只是【基数相等】而不是集合【相等】。因而说什么集合论【产生了诸如“整体等于部分”等矛盾】，纯属误读。
我： 康托所说的“整体等于部分”只是“整体的基数等于部分的基数”的一种简化说法（下同），这个应该是业内人人都知道的吧？怎么就变成了两个集合“相等”了？薛先生根本就未看过康托的原著？
为了不浪费读者的时间，以下原则上不回应所谓集合“相等”或“不相等”的问题。
薛 无穷集同它的某个真子集一一对应，这是严格证明的命题，而李先生说【并没有得到过严格的证明】，这不符合实际。李先生对此证明，能提出具体的反对意见吗？为什么连推理的正确性都不敢承认。就这么不自信吗？其实就是受到有穷集的规律的束缚，不敢承认无穷集具有同有穷集不同的规律和性质。
这里首先要阐明基数与元素数目的关系。根据康托的原著，基数是对集合进行二重抽象后剩下的集合性质，即将集合元素的性质和次序抽掉后得到的集合性质。显然，这时不同的集合，除了元素数目可能不同以外，已经不可能存在任何其他的不同。因此，尽管康托并没有明说，而是有点模糊（有意无意我不得而知），但实际上显然有以下定义成立：
定义1：集合中的元素数目称为基数或势。
由此不难得到：
性质1（基数不变性）：集合的元素不增不减时，集合的基数不变。
命题1：无穷集同它的任何一个真子集的基数不同。
证明：如果无穷集同它的某个真子集基数相同，则根据定义1，无穷集同它的这个真子集的元素数目相等，但根据真子集的定义，任何集合的元素数目必定是多于其真子集的元素的，矛盾！所以，无穷集同它的任何一个真子集的基数不同。证毕
这里要说明的是：证明中提到矛盾是客观存在的，并不会因为主观上的不承认(比如说，认为无限集合的基本特点是整体等于部分，或干脆把整体等于部分作为无限集合的定义，且认为“一点矛盾也没有”)就会自动消失。试图用主观方法抹煞客观事实的做法，在哲学是不能成立的，甚至可以说是反智的：
比如说，桌子上有一颗石子，只要说没有石子，或者把“没有石子”定义为桌子，石子就消失了？
以上我只讲了n个证明中的一个。可能下一个证明更“自信”且更直接地指出了康托错误的原因所在。
先看有限的情况。
两个集合可以有不同的“一对一“对应方式，以A={1,2}和B={3,4}为例，可以建立以下两种不同的“一对一“对应方式：
1与3对应且2与4对应;
1与4对应且2与3对应.
两种方法都证明了两个集合的基数相等。这一点毫不奇怪：既然两个集合的基数是相等的，而且根据基数不变性，他们在任何一种“一对一”的对应方式下都应该相等，结论当然是一样的。
但对于无限集合，做得到这一点吗？例如
{1,2,3…}
{0,1,2,3…}
下列对应方法“证明”了它们基数相等
1---0
2---1
3---2
…
而下列对应方式“证明”了它们的基数不相等
1----1
2----2
3----3
…
再例如自然数集合{1,2,3…}与偶数集合{2,4,6,…}
下列对应方法“证明”了它们基数相等
1----2
2----4
3----6
…
而下列对应方式“证明”了它们的基数不相等
2----2
4----4
6----6
…
因此，
命题 2 对无限集合，不能用一一对应研究其基数。
证明 对任何集合，若能用一一对应研究其基数，根据基数不变性，基数不会因为对应方法的不同而不同，即任何一种一对一（即没有一对多或多对一的对应方法）的对应方法所得出的结果都是一样的。但实际上只有有限集合可以做到这一点，无限集合则存在反例，所以，对无限集合，不能用一一对应研究其基数。证毕
有些小儿科的毫无严格性可言的“证明”我根本就不屑一顾，但薛先生却因此认为我不够自信，不敢直面这些所谓“严格”的证明。
那么，薛先生对我这个证明满意吗？我够不够“自信”？
薛先生或许会说，“业内”有一个“共识”：
如果两个集合之间有多种不同的对应方法，只要其中一种符合一一对应，这两个集合的元素就是一一对应的。
根据基数不变性，既然基数不变，就不应该与对应方式有关，即不同的对应方式应该有相同的结果。此“业内共识”显然与基数不变性冲突，因此是错误的。
至于薛先生说我“受到有穷集的规律的束缚，不敢承认无穷集具有同有穷集不同的规律和性质”，那就十分地搞笑了。
我为什么要“敢于承认”明显是错误的东西？
无穷集具有同有穷集不同的规律和性质？有严格的演绎证明吗？
如果没有严格的演绎证明，至少也应该举得出高度可靠的例子吧，从而证明“无穷集具有同有穷集相同的规律和性质”存在反例，不能成立。
有限时“整体大于部分”，而无限时“整体等于部分“倒似乎是一个不错的例子。可惜，如命题1所述，这并不成立。据我所知，其他的例子如果有的话，则要么不过是该例子的各种翻版，要么不过是各种错误所致，根本不成立。
相反，以下命题倒是可以严格证明的：
命题3 有限时成立的某公式，若可以用数学归纳法或通式推广至无限，则该公式在无限时也成立。
证明：假定该规律在无限时不成立，则说明数学归纳法或通式不具有可靠性，矛盾。 证毕
这里要说明的是，由于真实的无限是没有终点的（本文后面还要详细说明），因此这里的无限就是指没有终点的任意大。
该证明是经得起推敲的：若数学归纳法不具有可靠性，不能推广至任意大，人类的数学成就还会剩下多少？同理，若通式不可靠，还能叫通式吗？
事实上，没有有限，哪来的无限？无限会突然发生？或从天而降？这一点我与林益先生的观点是一致的：如果有限可以延伸，且这种延伸无止境，那就是无限了，即无限不过是有限的无限制延伸。这可以看作无限的定义。如果连无限的定义也没有，或者只会说“无限就是无限”，那所有的讨论建筑在什么基础上？有意义M吗？
不过，在薛先生看来，上述命题可能是大逆不道的，因为这样一来，所有关于无限的说法首先就要过有限这一关，康托的“乐园“里还剩下多少可以成立的东西？
认为“无限与有限具有不同的规律”或许是康托及其追随者的最后一块阵地，一旦该阵地失守，恐怕大厦就要倾倒，想必一定会有人来坚守阵地。
可惜，科学就是科学， 事实就是事实，“一点矛盾也没有”之类的鸵鸟政策或装傻充愣改变不了事实！
不过，薛先生在这里提到了一个“什么叫严格”的问题。这个问题倒是提得很好，也是很多问题的根源。 不同层次的人，对这个问题所能掌控的程度是很不同的。对有些人来说，只有经得起反复推敲的、绝对的严格才是严格，而对另一些人来说，似是而非甚至明显是错误的东西，只要是权威或名人说的，可能也显得很高大上，很有道理、也很“严格”。
谁让人的大脑进化程度并不完全一样呢！
看不出证明中的不严格，却又迷信明显错误的证明结果，其结果是灾难性的。很多明显错误的东西竟然能大行其道，概出于此.
例如，我曾与多位数学家讨论过对角线问题。
有很多人质疑对角线。如果对角线是严格的，为何会有那么多质疑？为何从来没有人质疑勾股定理？
康托先假定实数可数，然后将其全部列出，最后用对角线 b 构筑一个数 b’，并“证明”b’没有列出，造成矛盾，于是他就“证明”了实数不可数。
是这样的吗？
先考虑两位二进制有限小数，总共可列出以下4个二进制小数
x1： 0.1 0
x2: 0.0 0
x3: 0.1 1
x4: 0.0 1
其中的对角线元素是下划线所示的 1，0，令b=0.10, 取反后得到 b’= 0.01。
显然，对焦线法只能保证 b’不等于对角线所经过的x1,x2之中的任何一个而已，事实上， b’是对角线未经过的x3,x4中的x4。即 b’已经列出了！
同理，可列出8个三位二进制有限小数，
x1： 0.1 0 0
x2: 0.0 0 0
x3: 0.1 1 0
x4: 0.0 1 0
x5： 0.1 0 1
x6: 0.0 0 1
x7: 0.1 1 1
x8: 0.0 1 1
其中的对角线元素是下划线所示的 1，0，0，令b=0.100, 取反后得到 b’= 0.011。
显然，b’ 是所列出来的x8,即 b’也已经列出了！
……
上述规律对于4,5,6…任意位二进制小数都成立，因此，根据命题3，当对角线无限延长时，b’始终是所列出来的数之一，任何时候都不存在康托所想象的那样，会出现 b’没有列出的矛盾，因此，对角线证明不能成立。
其实，上述结果再自然不过了：既然已经把实数全部列出了，又怎么可能找到一个还没有列出的实数？岂不是自相矛盾？难道这个实数与众不同、三头六臂、从天而降？
如果说有人要反对上述如此简单且可靠的证明，恐怕唯一的理由就是“有限不能推广至无限”，可惜，如命题3所述，该论断没有任何根据！ 而且，即使无限时情况真的不一样，总得告诉我在这里是怎么的不一样？并给出相应的证明吧？比如说，对角线线延长到哪一步时，b’突然就变成没有列出的数了？为什么？如果连“不一样”的描述都说不出来，更无任何证明，那么，数学思维还有最起码的严格性吗？
我以为我已经很简单、很严格地把问题说清楚了，但大多数学家们却始终坚信康托那明显不符合事实的“证明”，反而始终看不懂或装作看不懂我的证明！
人分三六九等，有的人喜欢不懂装懂，甚至连康托的对角线在说些什么也没有搞懂，就以主流自居，或冒充主流；也有的人看懂了我的证明却装作看不懂，生怕承认了会使得自己变成非主流。
其实，谁能保证主流非主流会一成不变？今天的主流明天或许会变成非主流！所以，关键还是要看谁更严格，谁更有道理，才能永远立于不败之地。
在任何时候，聪明人永远占少数，从这一点来说，主流永远是平庸甚至相对落后的，且其中难免会充斥着一些不懂装懂、滥竽充数、狐假虎威的宵小之流，当然更多的是无独立思想、只会随大流的平庸之辈。有真才实学的人决不会以与主流为伍而自豪。
只有非主流的聪明人才有可能引领主流的不断变革。
难道不是这样吗？如果主流一成不变，那我们岂不是还停留在石器时代甚至比石器时代还要原始？
不过，要通过讲道理来改变对康托充满宗教式敬畏的人的数学世界观，确实是难上加难。
宗教的力量确实十分“伟大”，甚至可以“伟大”到让聪明人也变得十分愚蠢甚至反智，看不见简单的事实。
这是因为，宗教只讲信仰，在神圣的信仰面前，哪里还会讲道理？
新冠病毒面前，福音派的美国人不戴口罩，烧5g基站，本质上都是信仰的力量所致。
只有当他们哪一天回归科学了，才有可能正视事实，实事求是地讨论问题。
(三)，关于研究结果的可靠性。
我：数学分析在无穷上的结论具有高度的可靠性，而集合论的结论必须与数学分析的结论一致，才能证明自己的可靠性。但是集合论对无限问题的把握与数学分析有冲突，其可靠性是存疑的。
其实，在讲清楚了集合论中的理论错误后，其不可靠性几乎是必然的，一点都不奇怪。
通常用∞+1=∞来形象地表示无限集合与其真子集可以一一对应即元素相等。命题1已经证明了这是错误的，所以∞+1=∞应该改写为∞1+1=∞2（同理，对于不定式∞/∞，严格来说也应该表示为∞1/∞2，至于∞1与∞2是否相等，那是要计算以后才可以确定的）。在这里，∞1与∞2虽然都是无穷，但并不相同，两者相差1！或者说，虽然∞1与∞2都在无限延伸，但∞2比∞1多（或早）延伸了1，所以两者并不严格相同。
一个更容易理解的实际例子是：房间在不断地造，旅客也在不顿地涌入，即房间数和旅客数都可以无限地增加，因此都是无穷大，但恰恰旅客数目始终比房间数目多了1，所以始终客满，而不是如某名人的反智言论所说：只要调换房间就可以变客满为不客满！
至于具体的证明，其实都非常简单：
我的问题是，当自然数n趋于无限时，无穷大x=n+1与y=n是否相等？
薛 我理解是否是这样的问题，在数学分析中有两个无穷序列：
x=｛2,3,...,n+1,...｝(即xn=n+1)，y=｛1,2,...,n,...｝(即yn=n)。在集合论中这是两个无穷集合。
我：不完全是这样的。这里其实就是在讨论∞+1=∞是否成立？该问题的集合论背景其实是，当自然数n趋于无限时，集合A={1，2，3…n}的元素数目可以表示为limn→∞ y，而集合B={0，1，2，3…n}的元素数目可以表示为limn→∞ x，即都是无穷大。现在要研究的是n→∞时，这两个无穷大是否相等？
证明1：limn→∞（x-y）=limn→∞ [(n+1)-(n)]=limn→∞ (n+1- n)=limn→∞ (1)=1,即n→∞时，x不等于y。证毕
证明2：limn→∞（x/y）=limn→∞[(n+1)/(n)]→1, 或用极限的另一种表示法n→∞时x/y→1（见华师大的数学分析第四板第一册p24）,即x→y 或 x趋于(但不等于)y 证毕
可见，结果与用一一对应（无限旅馆）得到的结果完全不同：一一对应得到的结果是两者等势，即x=y，而数学分析的两种证明得到的结果都是x不等于y。
薛 在概念上一定要澄清。【无限旅馆】只是一种形象的比喻和直观的说明，并不是严格的证明。严格地证明是通过一一对应来证明的。
我：【无限旅馆】本质上也是一一对应。
薛 一一对应证明的结果是两个集合【等势】，。
我：这个不错。
薛：从数学分析的【极限】来看，当n→∞时，xn和yn的极限都是无穷大∞，极限是相等的。
我：这个不对，极限都是无穷大∞，不等于极限是相等的。
薛先生可能有点实用主义：如果x与y是集合论中基数不同的两个无穷，想必薛先生就不会说他们的“极限都是无穷大∞，极限是相等的”这句话了。也就是说，说不说这句话不是根据计算来的，而是在计算之前就定下了？
薛：另外由于当n→∞时xn/yn的极限等于1，即: limn→∞[(n+1)/(n)]→1,可知xn与yn是同阶无穷大。
我：这个不错，但同阶无穷大并不意味着两个无穷大一定是精确相同的，有时只是说可以无限趋近于相同，但是实际上并不一定相同，这里就是这种情况，否则证明1就无法解释。
薛 从集合论的【基数】来看，x和y的集合基数都是可数无穷，也是相等的。
我：这个不错，但问题在于集合论与证明1，2的结果矛盾。
薛：不相同的数学对象，有某些属性相同，这里并无任何矛盾之处。
我：视不同（证明1，2的结果与集合论不同）为相同，当然“并无任何矛盾“了，为何连事实也要否认？是“不自信？”“不敢直面”？鸵鸟政策？
薛 至于李先生说的证明1，由n→∞时，(xn-yn)→1，来证明两个序列不相等，实无必要，实际上只要发现有一项，使xn≠yn，xn-yn≠0，即差的序列只要有一项不等于:0，就可断定两个序列不相等，何需用差的极限等于1来判断。简直多此一举。
我：我以前已经说了，我并没有讨论集合或序列是否相等的问题，而是来证明集合A和B的元素数目是否相等的问题，所以只能通过求极限。
不过，这个极限确实太简单了，不求也知道：在还没有求极限时，n已经消去了，求不求极限都一样。所以，集合A和B始终相差一个元素，n是否趋向无限都一样。直观地说，在集合A中增加了一个元素0就得到了集合B，因此，集合B的元素数目当然就比集合A多了一个。然而，如此简单的、幼儿园小朋友也搞得清楚的事实却被“一一对应”“证明为”元素数目相等即等势！可见命题2所述不假。薛先生是否应该去问一下康托：“你为什么会犯这种一眼就可以看穿的、如此低级的错误”，薛先生是否应该问一下自己与其他康托的崇拜者：“为什么在数学分析那里一清二楚的、甚至求极限也显得多此一举的简单事实，到了集合论那里就会被搞得糊里糊涂了呢？是被下了魔咒吗？”
薛：两个序列的差的极限等于1，并不能得出两个序列的无穷大极限之差为1(∞-∞=1)，所以也得不出两个序列的极限不相等的结论，不知李先生想用【证明1】来证明什么。
我： 证明1已经证明，n→∞时，x不等于y,而根据x和y的定义，n→∞时，x和y都是无穷大，因此，“两个序列的极限不相等的结论”是可以得出的。这么简单的推理也不会？
至于我要证明什么，很简单，就是要用数学分析来证明集合A与B的元素数目不同，而且已经严格地证明了。因此，集合论与数学分析是矛盾的。
薛 我前面己经说了，xn和yn是两个不同的序列。只是它们的【极限】这个属性相同而己。同样x和y这两个集合是不同的集合，只是它们的【基数】这个属性相同而己。
我：已经严格证明，极限不同，为何还要做鸵鸟？
薛 至于【证明2】，证明了n→∞时，xn/yn→1，李先生错误地说证明了x→y，而且说是这种极限是渐近式的极限，是不可达的极限，所以证明了x≠y。这个推理是欠严格的。
1)，y是个序列，是个变量。说x→y，本身就不倫不类。因为极限或者是一个确定的数，或者是无穷大∞。不能以序列或变量y作为极限，因而就谈不上这是渐近式极限不可达，也就是说，由此推不出x≠y的结论。
2)，一般谈极限不可达，是指的自变量。当我们说函数y=f(x)，当x→a时，y=f(x)→b。这里的x无限趋近于 a，要求x不等于a。即极限的存在与否以及等于多少，同ⅹ=a时的函数值f(a)无关，即求极限时x≠a。这就是通常所说的【极限是不可达的】。这并不是指在求极限过程中，在x≠a的条件下的函数值f(x)，不能等于极限值b。在a附近有沒有x，使f(x)=b，这同是否有y=f(x)→b没有关系。不能由此来分可达的极限和不可达的极限，这样的划分没有任何意义。(xn-yn)→1 属于前者，(xn/yn)→1 属于后者。这对于证明x≠y，起不到任何作用。
我: 薛先生虽然看上去知识渊博，学问似天，但似乎实在缺少基本的推导能力，怎么看上去还远不如我这个非数学专业出身的人？读书没读好？比如，证明2说到极限的另一种表示法是n→∞时x/y→1（见华师大的数学分析）由 x/y→1自然可以推出，x→y，但薛先生好像这个推导也不会，所以才会说，x→y“本身就不倫不类”。
薛先生还特别喜欢混淆概念，比如老是用集合或序列是否相等的问题来回答我这里的元素的数目是否相等的问题。对于集合或序列是否相等的问题我根本就没有牵涉，当然也就没有兴趣去回答了。
关于极限是否可达的问题，薛先生讲的是函数y=f(x)，当x→a时，y=f(x)→b，与我所讨论的数列的极限也是两回事。
对于数列极限来说，n是要趋向无限的，所以本质上是一个与无限有关的问题，而上述函数的极限不存在这个问题（函数极限当然也可以与无限有关，但薛先生并未提到这种类型的函数极限）。所以这是完全不同的两个问题。
数列极限能否达到？本质上是无限能否达到或能否完成的问题，即究竟应该持实无限观还是潜无限观的问题。这不是一个简单的站队问题，根据不同的情况会有不同的结论。
显然，渐进式的数列极限只有在无限能达到或完成时才能达到。薛先生不会连这一点都不承认吧？
然而，从逻辑的角度来说，无限是没有终点的，否则就不能称之为无限而只能称之为有限了。因此所谓有终点即可完成的无限客观上是不存在的。真实的无限是永远也完成不了的。换言之，潜无限是对无限的一种真实描述，而实无限不过是一种想象：如果无限完成了会怎么样？由于实际上无限不能完成，所以我们不一定知道无限究竟会导致怎样的结果。这时候，必要的想象是可以的。因此，完成了的无限即实无限只是一种停留在人们脑海中的主观存在，客观上并不存在。然而，想象毕竟只是想象，其可靠性是存疑的。这一点要时刻保持警惕。只有在十分确定的情况下，我们才有可能根据想象得到可靠的结果（注）。然而，这并不意味着所有的想象都一定是可靠的，更不意味着现实和想象是没有距离的。例如，我们不能认为极限是一定可以达到的。比如，如果无限小量的极限出现在分母上，就绝对不能把无限小量当作零。
由于实无限只是一种与现实有差距的想象，因此，渐进式的数列的极限只能无限趋近却永远不能真正达到。也就是说，x只能无限趋近却永远不能等于y.
这其实不过是业内人人皆知的常识，不知道薛先生为何要反对？
薛 序列xn和yn的极限都是无穷大，是【相等】的，集合x和y的基数都是可数无穷，基数也是【相等】的。这里并无任何【冲突】和【矛盾】，理论上是协调的一致的。所以说，李先生所谓【 集合论对无限问题的把握与数学分析有冲突，其可靠性是存疑的。】的论点不符合事实，並不成立。
我：如果读者看过我前面的分析，应该已经知道薛先生错在哪里了，这里不必要重复指出。
总之，从数学分析的角度来看，证明1，2已经严格地证明了序列xn和yn的极限虽然都是无穷大，但并不相同，因此集合A和B的元素数目即基数不同，这与集合论是冲突的，后者认为集合A和B的元素数目即基数相同。所以说，集合论对无限问题的把握与数学分析有冲突，其可靠性是存疑的。
其实，用数学分析完全可以对无限做出无限丰富的定量研究。仅以不定式∞1/∞2来说，其结果就是无限多的，且远比集合论科学、精细。例如，如果把无限定义为有限的无限制延伸，则延伸的起点、速度和加速度都可以不同，这时∞1/∞2就会有各种各样不同的结果。例如，如果分子以加速度延伸，分母是匀速延伸，那比值就是无穷大；再比如说如果分子分母都是匀速延伸，但速度不同，那比值就是某一个常数。至于集合论，由于其出发点是一一对应，命题2已经证明了这种方法对于无限集合是错的，且对角线证明不能成立，所以集合论在无限问题上从头至尾都是错的，与数学分析的冲突当然是必然的。
林益和黄汝广先生对本文提出了不少宝贵意见，在此表示感谢。
参考文献
[1]http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=755313&do=blog&id=1249467
[2]http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=755313&do=blog&id=1250130
(全文完)
注解：例如，在大多数情况下，数列极限只有在无限完成后才能达到，因此通常也只是一种想象。但只要极限存在，我们是可以知道它的确切值的。这是因为，从根本上来说，求极限是一种试错法：我们实际上是先猜想出一个极限值，然后才能证明它就是极限。如果猜错了，当然可以重猜，所以最后总能得到可靠的结果，即在这种情况下可以辨别所想象的结果是否可靠（对于别人已经用试错法求得的极限，我们当然不用再试错，而是直接或间接地采用他人的结果，所以一般人不一定会经历这个试错过程）。
