18 其他观点（二）
彼得·沃特 著
左 芬 译
我们已看到，对于广义相对论，即爱因斯坦的引力理论，如何构建其量子版本的问题始终是没有定论的。超弦理论的一个主要的动机就是提供这样一种构建，但我们已经知道他尚未能完全成功地做到这一点。广义相对论的数学结构引人瞩目地与标准模型的接近，因为它根本上是一个几何理论。从一个几何学家的视角来看，杨-米尔斯规范场是告诉我们如何比较相邻点处的场的联络。广义相对论也能用这类的联络表达，此时的联络描述如何比较相邻点处的矢量。但是广义相对论背后的几何，黎曼几何，包含额外的在杨-米尔斯情形下不出现的结构。这一额外结构就是度规，或句话说，衡量矢量尺度的一种方式，并且这些度规变量要求一种不同与杨-米尔斯规范场的动力学。在长距离或者说低能情形下，这一动力学是已知的；它由爱因斯坦的场方程决定。如果我们试图将这一动力学用到短距离情形下的量子场论中，将会陷入无法用传统重整化方法处理的无穷大的困境中。
弦理论试图解决这一难题的方法是假定在短距离处理论的基本场是一些非几何性的物体，一根弦的激发模式。另一种完全不同的解决量子引力难题的方式近年来变得流行起来，即所谓圈量子引力（简称LQG）。要描述LQG程式会是一个很长的故事；作为一个通俗的版本，可参考李∙斯莫林的《通向量子引力的三种途径》 (Smolin, 2001)[1]，或者作为更技术性的讨论，参考卡洛∙罗韦利的专著《量子引力》 (Rovelli, 2004)。LQG在量子化引力的过程中使用广义相对论标准的几何联络变量，但采用了一种非微扰的量子化方法。这一方法不同于通常的费曼图展开，从而不会像后者一样陷入无穷大的困境之中。
尽管LQG程式可以认为跟超弦程式一样成功地提出了构建引力的量子理论的一种可行方式，但与超弦理论有所不同，LQG并不企图对标准模型给出解释。它是一种纯粹的量子引力理论，原则上独立于其他粒子相互作用的理论。对超弦理论的很大兴趣最初源自于这样一种希望：它不仅仅可以提供一种引力理论，而且可以提供所有粒子相互作用的一种统一理论。近年来，随着这种希望越来越明显地变得像是一种幻想，LQG逐渐吸引了越来越多的注意，导致这两个不同研究程式的信徒们之间经常是敌意的论争接二连三地发生。许多弦论的文章不断地以这样的激励性表述开头：弦论是‘最有前景的量子引力理论’，或者类似的话语，而这种断言使研究LQG的物理学家们非常愤怒。超弦理论继续占据着至今为止最大分量的资源，因为它的信徒主导着这个领域的主要研究中心，特别是在美国。尽管许多不同的物理系都有活跃的弦论研究小组，并且愿意聘用年轻的弦理论家，在美国仅仅几个研究所会考虑向一个研究LQG的年轻物理学家提供职位。
除了LQG，从广义相对论的研究中出现的一种更加推测性的量子引力方法是所谓的扭量理论。这是罗杰∙彭罗斯和他在牛津以及其他地方的合作者所提倡的一种想法。他辉煌的巨著，《通向实在之路》 (Penrose, 2004)[2]，主要地从广义相对论而非粒子物理的视角，对理论物理学进行了系统的综述，可借以了解扭量理论的主要思想的概要。彭罗斯本人持这种观点：一个成功的量子引力理论将不仅涉及扭量理论，还需要重新修订量子力学的基本思想，尽管他的这种观点几乎必然是属于少数派的。扭量理论涉及四维所特有的几何的思想，并且在根本上利用了旋量的几何观点以及复几何。它仍未得出一个量子引力的完整理论，并且，跟LQG一样，它并不企图提供标准模型的解释。
除了在引力上潜在性的应用之外，扭量理论也在许多其他地方显得非常有用，并导致一些几何上有趣的方程组的严格解。这些包括杨-米尔斯理论中的自对偶方程，其解最终在唐纳尔森在四维拓扑方面的工作上非常重要。扭量理论也导致了四维杨-米尔斯量子场论的某些散射振幅的新公式，并且这一事实最近激发了威滕将这些振幅表述成一种弦的拓扑理论的尝试。在这种拓扑弦论中，弦并非生存在物理时空中，而是在扭量空间里。尽管这一思路已经得出许多计算散射振幅的新方法，所期望的杨-米尔斯量子场论和一种新的弦论之间的对应还未实现。
另一个值得一提的推测性的研究程式是非对易几何，由法国数学家，菲尔兹奖得主阿兰∙孔涅所提出。一个代数，本质上仅仅是一个抽象的数学结构，其元素可以自洽地相乘和相加。对代数的研究归属于数学上的一个分支领域，数学家们也称其为代数（学）。在数学上的几何和代数两个分支领域之间存在着深刻和根本的关联。这一关联对一个几何空间赋予一个特殊的代数：定义在该空间上的函数构成的代数。这一函数代数是对易的，或句话说，当你把它们相乘时，它们的先后顺序是没有关系的。孔涅首倡了研究更广泛的非对易代数的思想，并把它们看成一种广义几何空间上的函数代数。非对易几何由此得名。利用非对易几何的这些概念，他给出了如何理解标准模型的一些推测性的想法。关于这一思路的细节以及部分这类关于几何的思想是如何运作的，可参考孔涅在这一主题上的研究专著 (Connes, 1994)。
（本章完）
Bibliography
Connes, A. (1994). Noncommutative Geometry. Academic Press.
Penrose, R. (2004). The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe. Jonathan Cape.
Rovelli, C. (2004). Quantum Gravity. Cambridge University Press.
Smolin, L. (2001). Three Roads to Quantum Gravity. Basic Books.
[1] 译注：上海科学技术出版社2009年出版了中译本，题为《宇宙的本源：通向量子引力的三条途径》。
[2] 译注：湖南科学技术出版社2008年出版了中译本，题为《通向实在之路：宇宙法则的完全指南》。
