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大自然偏爱秩序

[注:下文是群邮件的内容,标题是抬头。]

大自然偏爱秩序。

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众所周知,n 次多项式有 n 个根 (复数范围内)。从 “原始的天真” 来看,这 n 个根的顺序是怎样的,并无关紧要。确实,设 n 次多项式的根为 r1, r2,...,rn,则有:

(x - r1)(x - r2)...(x - rn) = 0。

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由于乘法有交换律,上式左端的每个因式的位置似乎是无关紧要的。可是,问题的最终解决却源于对根的顺序的考察,这是令人惊讶和意想不到的地方。换句话说,这个事情有很大的隐蔽性。

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站在研究者的角度不难明白:在问题解决之前并不清楚自己是否走在正确的道路上。任何时候,你都会面临这样一个选择:继续 or 离开。当你选择继续的时候,必然有某种 “motivation” 在促使你这样做。也许 “理由” 这个措辞比 “动机”* 更为中性一些。但在研究中,更强调 “动机”。做研究需要强有力的动机,有时这个动机就是源于某种领悟。对于动机的追究,就是对起源的追究。这样做可以帮助接近其中的思想内核。(星号:在一些语境中 “动机” 这个词似乎带有贬义,在我看来是很奇怪的)。

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当你试图考察其他人已经考察过的问题时,不少人可能会认为 “没有必要”,或者 “不够权威”。对于怀疑其必要性的人而言,只消一句话就可以“打发”:没人能两次穿过同一条河流。至于 “权威性”... 这个只要能说服我自己就行。(从某个时候开始) 我的脑子只能理解两种知识:要么是我重新发现的,要么是我自己发明的。

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回到第一段。看上去,多项式方程达成一次因式的分解就 “到头了”。可是在伽罗瓦的时代,关于多项式方程还有问题没有解决。这种情况下,端详那个方程,你能做的只剩下交换各因式的顺序了。比如,按根的大小排列因式。这个时候你可以相信:问题就从这里解决!这里的思想方法是:假设 “走到头”,看看那里还有什么 “元素”。好了,出来个“顺序”。而大自然偏爱秩序。因此顺序值得研究,顺序中可能有某种启示,等等。

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举个例子说明顺序的意义。令 (x + √2)(x + 1)(x - 1)(x - 1/2)(x + 2/3)(x - √2) = 0。这个方程是有理系数的6阶多项式方程。把它整理一下:把第一个因式和最后一个因式放在一起:

(x + √2)(x - √2)(x + 1)(x - 1)(x - 1/2)(x + 2/3) = 0。

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可以清楚地看到:(x + √2)(x - √2) = x^2 - 2。它的右端是有理系数的。换句话说,拿 “有理系数” 作为标准,可以对因式 “分组” 使得同一组内的因式展开后是有理系数的多项式。这样做了以后,你可以更容易地看出,上面的整个多项式方程是有理系数的。特别地,你会意识到 (x + √2) 和 (x - √2) 组成了一个 “子系统”。而 (x + √2) 和 (x + 1) 并不组成一个 “子系统” (它们的乘积展开不是有理系数的)。这体现出如何 “分组”,会带来结构上的不同认识。

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以上的分析表明:多项式方程的诸一次因式,可以涉及到 “顺序” 和 “分组” 这类事情。而一次因式就是根的另一种表达形式。这样,专门对根的顺序和分组进行研究,就有了一定的合理性。这里头似乎有一种“哲学”:大自然会把它的规律隐藏起来,但并非不给你任何提示。这种提示可能是非常轻微的和纤细的,只能留待那些具备敏锐直觉和洞察力的人发现它并且认真地对待它。

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当然,很难了解伽罗瓦在草稿纸上做了哪些摸索,他的第一动因是什么,以及他最初是怎么想的、第一个突破点又是什么。作为后来者,只能做些尝试性的探讨,以期获得一些有益的启发。

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