[注：下文是群邮件的内容，标题是抬头。]
大自然偏爱秩序。
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众所周知，n 次多项式有 n 个根 (复数范围内)。从 “原始的天真” 来看，这 n 个根的顺序是怎样的，并无关紧要。确实，设 n 次多项式的根为 r1, r2,...,rn，则有：
(x - r1)(x - r2)...(x - rn) = 0。
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由于乘法有交换律，上式左端的每个因式的位置似乎是无关紧要的。可是，问题的最终解决却源于对根的顺序的考察，这是令人惊讶和意想不到的地方。换句话说，这个事情有很大的隐蔽性。
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站在研究者的角度不难明白：在问题解决之前并不清楚自己是否走在正确的道路上。任何时候，你都会面临这样一个选择：继续 or 离开。当你选择继续的时候，必然有某种 “motivation” 在促使你这样做。也许 “理由” 这个措辞比 “动机”* 更为中性一些。但在研究中，更强调 “动机”。做研究需要强有力的动机，有时这个动机就是源于某种领悟。对于动机的追究，就是对起源的追究。这样做可以帮助接近其中的思想内核。(星号：在一些语境中 “动机” 这个词似乎带有贬义，在我看来是很奇怪的)。
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当你试图考察其他人已经考察过的问题时，不少人可能会认为 “没有必要”，或者 “不够权威”。对于怀疑其必要性的人而言，只消一句话就可以“打发”：没人能两次穿过同一条河流。至于 “权威性”... 这个只要能说服我自己就行。(从某个时候开始) 我的脑子只能理解两种知识：要么是我重新发现的，要么是我自己发明的。
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回到第一段。看上去，多项式方程达成一次因式的分解就 “到头了”。可是在伽罗瓦的时代，关于多项式方程还有问题没有解决。这种情况下，端详那个方程，你能做的只剩下交换各因式的顺序了。比如，按根的大小排列因式。这个时候你可以相信：问题就从这里解决！这里的思想方法是：假设 “走到头”，看看那里还有什么 “元素”。好了，出来个“顺序”。而大自然偏爱秩序。因此顺序值得研究，顺序中可能有某种启示，等等。
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举个例子说明顺序的意义。令 (x + √2)(x + 1)(x - 1)(x - 1/2)(x + 2/3)(x - √2) = 0。这个方程是有理系数的6阶多项式方程。把它整理一下：把第一个因式和最后一个因式放在一起：
(x + √2)(x - √2)(x + 1)(x - 1)(x - 1/2)(x + 2/3) = 0。
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可以清楚地看到：(x + √2)(x - √2) = x^2 - 2。它的右端是有理系数的。换句话说，拿 “有理系数” 作为标准，可以对因式 “分组” 使得同一组内的因式展开后是有理系数的多项式。这样做了以后，你可以更容易地看出，上面的整个多项式方程是有理系数的。特别地，你会意识到 (x + √2) 和 (x - √2) 组成了一个 “子系统”。而 (x + √2) 和 (x + 1) 并不组成一个 “子系统” (它们的乘积展开不是有理系数的)。这体现出如何 “分组”，会带来结构上的不同认识。
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以上的分析表明：多项式方程的诸一次因式，可以涉及到 “顺序” 和 “分组” 这类事情。而一次因式就是根的另一种表达形式。这样，专门对根的顺序和分组进行研究，就有了一定的合理性。这里头似乎有一种“哲学”：大自然会把它的规律隐藏起来，但并非不给你任何提示。这种提示可能是非常轻微的和纤细的，只能留待那些具备敏锐直觉和洞察力的人发现它并且认真地对待它。
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当然，很难了解伽罗瓦在草稿纸上做了哪些摸索，他的第一动因是什么，以及他最初是怎么想的、第一个突破点又是什么。作为后来者，只能做些尝试性的探讨，以期获得一些有益的启发。
