一、母亲再婚后可以要求子女随继父姓吗
未成年人变更姓名，必须征得监护人同意。父母作为未成年人的子女的监护人，在子女姓名上享有平等的权利，任何一方变更子女姓名时，都要征得对方同意，因此，夫妻离婚后，父或母不得擅自将夫妻存续期间所生子女姓氏更改为继母或继父的姓氏。
夫妻离婚后，一方擅自将子女姓氏改变，侵犯了对方享有的子女随其姓的权利。实践中，子女为限制行为能力的及已满10周岁的，因其具备一定的民事行为能力，应考虑子女的意见确定姓氏。对不满10周岁的子女，因其还不具备民事行为能力，因此不用征求本人意见，可由父母双方进行协商解决，对于擅自更改的应恢复原姓氏。
二、申请变更抚养权的方式
1、起诉变更
一方要求变更子女抚养关系，并向法院起诉的，法院在审理时查明有下列情形之一的，会予以支持。
(1)与子女共同生活的一方因患严重疾病或因伤残无力继续抚养子女的;
(2)与子女共同生活的一方不尽抚养义务或有虐待子女行为，或其与子女共同生活对子女身心健康确有不利影响的;
(3)十周岁以上未成年子女，愿随另一方生活，该方又有抚养能力的;
(4)有其他正当理由需要变更的。
因此，如果之前离婚判决时确定的抚养权归属，出现这些不利于被抚养子女的情况时，向法院申请变更抚养权的，一般都会得到支持。而且，十周岁以上的未成年人还可以按照其自身的意愿选择自己的监护人，更加有利于其自身的健康成长。
2、协议变更
就像离婚时的抚养权归属问题一样，变更抚养权既可以向法院请求变更，父母双方还可以协议变更子女抚养关系。法院对于种变更方式，是准许承认的。
这也需要与孩子的亲生父亲进行协商，而不能擅自的更改。毕竟按照我国的传统，孩子基本都是跟随父亲姓的，而要是随意更改孩子的姓氏也会造成一定的不良影响，这是不利于孩子健康成长的。
法律依据：
《婚姻法》
《关于人民法院审理离婚案件处理子女抚养问题的若干具体意见》
第十九条，父或母一方擅自将子女姓氏改为继母或继父姓氏而引起纠纷的，应责令恢复原姓氏。
