3。1。1方程的根与函数的零点ampnbspampnbspampnbsp公开课教案

　　教学目标：
　　1、 能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
　　2、 理解函数的零点与方程的联系。
　　3、 渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。
　　教学重点、难点：
　　1、 重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法。
　　2、 难点：函数零点存在的条件。
　　教学过程：
　　1、 问题引入
　　探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
　　出示表格，引导学生填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
　　一元二次方程
　　方程的根
　　二次函数
　　图像与x轴的交点
　　x2-2x-3=0
　　x1=-1，x2=3
　　y=x2-2x-3
　　（-1，0），（3，0）
　　x2-2x+1=0
　　x1= x2=1
　　y=x2-2x+1
　　（1，0）
　　x2-2x+3=0
　　无实数根
　　y=x2-2x+3
　　无交点
　　（图1-1）函数y=x2-2x-3的图像
　　（图1-2）函数y=x2-2x+1的图像
　　（图1-3）函数y=x2-2x+3的图像
　　归纳：
　　（1） 如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴没有交点；
　　（2） 如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x轴有交点。
　　反之，二次函数图像与x轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根；
　　二次函数图像与x轴有交点，则交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根。
　　2、 函数的零点
　　（1） 概念
　　对于函数y=f(x)(x d),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x d)的零点。
　　（2） 意义
　　方程f(x)=0有实数根
　　函数y=f(x)的图像与x轴有交点
　　函数y=f(x)有零点
　　（3） 求函数的零点
　　① 代数法：求方程f(x)=0的实数根
　　② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。
　　3、 函数零点的存在性
　　（1） 二次函数的零点
　　=b2-4ac
　　ax2+bx+c=0的实数根
　　y=ax2+bx+c的零点数
　　0
　　有两个不等的实数根x1、x2
　　两个零点x1、 x2
　　=0
　　有两个相等的实数根x1= x2
　　一个零点x1（或x2）
　　0
　　没有实数根
　　没有零点
　　（图2-1）方程ax2+bx+c=0的判别式 0时，函数y= ax2 +bx+c(a 0)的图像
　　（图2-2）方程ax2+bx+c=0的判别式 =0时，函数y= ax2+bx+c(a 0)的图像
　　（图2-3）方程ax2+bx+c=0的判别式 0时，函数y= ax2 +bx+c(a 0)的图像
　　（2） 探究发现
　　问题1：二次函数y=x2-2x-3在区间[-2，1]上有零点。试计算f(-2)与f(1)的乘积有什么特点？
　　解：f(-2)=(-2)2-2*(-2)-3=4+4-3=5
　　f(1)=12 -2*1-3=1-2-3=-4
　　f(2)* f(1)=-4*5=-20 0
　　问题2：在区间[2,4]呢？
　　解：f(2)=(2)2-2*2-3=-3
　　f(4)=42-2*4-3=5
　　f(4)*f(2)=(-3)* 5=-15 0
　　归纳：
　　f(2)* f(1) 0，函数y=x2-2x-3在[-2，1]内有零点x=-1；f(2)* f(4) 0，函数y=x2-2x-3在[2，4]内有零点x=3，它们分别是方程y=x2-2x-3的两个根。
　　结论：
　　如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线并且有 ，那么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根。
　　① 图像在 上的图像是连续不断的
　　②
　　③ 函数 在区间 内至少有一个零点
　　4、 习题演练
　　利用函数图像判断下列二次函数有几个零点
　　① y=－x2 3x 5 ， ②y=2x(x－2)+3
　　解：①令f(x)=－x2 3x 5,
　　做出函数f(x)的图像，如下
　　（图4-1）
　　它与x轴有两个交点，所以方程－x2 3x 5 0有两个不相等的实数根，则函数y=－x2 3x 5有两个零点。
　　②y=2x(x－2)+3可化为
　　做出函数f(x)的图像,如下：
　　（图4-2）
　　它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2) －3无实数根，则函数y=2x(x－2)+3没有零点。