《杨辉算法》包括《乘除通变本末》三卷,《田亩比类乘除捷法》二卷,《续古摘奇算法》二卷;其中《乘除通变本末》之上卷称为《乘除通变算宝》,其中卷称为《乘除通变本末》,其下卷称为《算法取用本末》;上、中卷为杨辉自撰,下卷则是与史仲荣合撰。《杨辉算法》共有七卷。(杨辉事迹参见“《详解九章算法》”条)
在《杨辉算法》之《续古摘奇算法》中,杨辉转录《孙子算经》“物不知数”题,还补出四道类似题,并说这类题为“俗名秦王暗点兵,犹覆射之术”。他称这类题解法,即一次同余式组的解法为“翦管术”。只给出每一题的具体解法,未曾给出一次同余式的一般解法。
若表示以现代形式,这四题分别是:
杨辉虽然未能象秦九韶一样给出一般解法,但这四题的算法都正确无误,而且还把《孙子算经》三问数推广至四问数,这就是杨辉的一点创新。
纵横图是组合数学一项重要内容,三阶纵横图在中国产生很早,而四至十阶纵横图却是杨辉所创,《续古摘奇算法》卷上,给出各阶纵横图造术方法,如三阶纵横图造术法为:“九子斜排(图1),上下对易(图2),左、右相更(图3),四维挺出(图4),戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足。”
这方法日人称为“配列方法”。其次,杨辉也提出四阶纵横图造术方法,即“以十六子依次第作四行排列,先以外四角对换,(一换十六,四换十三。)复以内四角对换,(六换十一,以七换十。)横直上下斜角,皆三十四数”。即(图5-7):
以上都是“单式纵横图”造术法,杨辉还提出“复式纵横图”造术法。在一定程度上,这些方法可以推广,杨辉不但创造了“九九图”,还创造了“百子图”及圆形的“攒九图”。这些都是前人所未曾论及的工作。
刘益,其生平事迹很难稽考,杨辉认为他是中山(今河北定县一带)人,至于其活动年代,可能是北宋中期以前时代的人,杨辉于《田亩比类乘除捷法》序称:“中山刘先生作《议古根源》”。《议古根源》一书早已失传,杨辉又说该书“引用带纵开方正负损益之法,前古之所未闻也。”还于《算法通变本末》中说:“刘益以勾股之术,治演段锁方,撰《议古根源》二百问,带益隅开方,实冠前古。”可见《议古根源》是在方程论方面有突出贡献的著作,其中一部分内容当被杨辉所采用,经查对,在《田亩比类乘除捷法》中,曾采用刘益二百问之二十二问,计有:
等。刘益不但突破未知项系数必需为正的限制,也取消了二次项系数必需为1的限制,在解法方面,刘益还提出“益积术”、“减从术”两种方程解法。虽然《议古根源》早已散失,但可以通过杨辉的工作,了解到刘益的一些贡献。正如杨辉说:“辉择可作关键题问者,重为译悉著述,推广垂训刘君之意”。
在《续古摘奇算法》卷下,杨辉指出,《海岛算经》“实《九章》勾股之遗法也,迄今千余载间,唐李淳风而续算草,未闻解白作法之旨者。辉尝置海岛小图于座右,乃见先贤作法之万一,……,今将《孙子》度影量竿题问,引用详解,以验小图”。杨辉以《孙子算经》“度影量竿”两问为例,并用“股中容横,勾中容直”原理,论证计算岛高及岛远重差公式之造术,也为研治古算树立良好榜样。
在《杨辉算法》中,为好学易懂,不但配备许多题图,还编撰多首诗歌,并创立各种简明算法,几成为杨辉算书之特色。例如《乘除通变本末》有“求一乘”、“求一除”诗歌,今照录如下:
“求一乘”:
五六七八九,倍之数不走,二三须当半,遇四两折扭。倍折本从法,实即反其有,用加以代乘,斯数足可守。
“求一除”:
五六七八九,倍之数不走,二三须当半,遇四两折扭。倍折本从法,为除积相就,用减以代除,定位求如旧。
《杨辉算法》流行最广的版本是知不足斋本和宜稼堂本,但两者都不是该书的全帙,前者少半卷,后者少一卷。日本和朝鲜都有《杨辉算法》的全文刻本,北京图书馆藏有朝鲜重刻本,中科院自然科学史研究所藏有日本数学史专家三上义夫抄自关孝和处而赠予中算史专家李俨的全文抄本。此外,还有丛书集成初编本,台湾丛书集成新编本等。
