§5.3 微积分基本公式
设函数
在区间
上连续，并设
为
上的一点，考察
在部分区间
上的积分
这一特殊形式的积分有两点应该注意：
因
在
连续，该定积分存在。此时，变量
为了明确起见，将积分变量改用其它符号如
来表示，这是因为定积分与积分变量的选取无关。上面的定积分改写成下述形式
若上限
在
上任意变动，则对应于每一个取定
，该定积分有一个对应值。所以，它在
上定义了一个新的函数， 记作
称
是否确有这类函数?
观察一个例子,正态曲线
在
上的变上限函数为
它表示一个曲边梯形的面积。运行程序gs0503.m，可分别作出
，
在
上的图象
这表明，
确实是一个新的函数。
【定理一】如果函数
在区间
上连续， 则变上限函数
在
上具有导数，且它的导数是
证明：当上限
获得增量
时，
在
处的函数值为
由此得函数的增量
据积分中值定理：
在
与
之间
即：
定理一表明：
是
【定理二】如果函数
在区间
上连续， 则函数
就是
在
上的一个原函数。
定理二的重要意义在于：
揭示了定积分与原函数之间的联系。 使得定积分的计算有可能通过原函数来实现。
二、牛顿-莱布尼兹公式
【定理三】设
在
上连续，
是
在
上的任一原函数
则
证明：
与
均是
在
上的原函数
则
(
为常数，
)
令
，
而
故
从而
即
若令
， 得：
为了方便，今后记
或
。
最后，我们提醒一句，微积分基本公式时，一定要注意条件：
是
在区间
上的原函数。
【例1】计算
与
解：
注：当初阿基米德用穷竭法计算定积分
，可是费了不少功夫，可如今变得简单多了，这得益于微积分基本公式。
【例2】设
在
内连续，且
，证明函数
在
内为单调增加函数。
证明：
由假设， 在
上
，
， 故
，
，
从而，
在
上是单增的。
【例3】求极限
解：这是一个
型的不定式，可用罗必达法则来计算，分子可写成
它是以
为上限的函数， 作为
的函数， 它可视作以
为中间变量的复合函数， 故
注明：试图用牛顿 -- 莱布尼兹公式计算定积分的思路是不可取的。这是因为
不具有有限形式的原函数。
公元前的古希腊数学家阿基米德最先具有定积分的初步思想方法，而明确提出定积分概念却是由牛顿(英1642 - 1727)与莱布尼兹(德1646-1716)共同完成的。 而当时的定积分理论基础尚不严谨， 甚至连个严格的定义都没有。直到(1826 - 1866)德国数学家黎曼给出了今天的定积分严格定义。
这一事实表明：一个科学概念从萌芽、诞生到成熟需要经历很长时间。 因此，列宁称“ 自然科学的生命是概念 ”再恰当不过了。
定积分的符号
是由莱布尼兹首先引用的。其含义是：定积分的实质是求积分和式的极限，英文中求和一词是Sum，将S拉长变成了
。显然，符号
从外形到含义均表达了“求和”的涵义，堪称“形意兼备”。莱布尼兹在微积分中引用的符号系统：
彼此之间有联系，又各自表达不同的意义，可以说十分先进。现代计算机数学软件所采用的符号系统便是莱布尼兹所定义的，由这一点可看出先进的符号体系是重要的。
我国古代数学尽管历史悠久，但发展缓慢，其中一个重要的原因是符号落后。象著名的“勾股定理”也仅被表述成：勾三股四弦五，即：
在计算机编程中，合理有效地使用符号与变量的名称更是一个不容忽视的大问题。
