第一部分 课后习题
第1篇 引 言
第1章 经济模型
本章没有课后习题。本章是全书的一个导言，主要要求读者对微观经济模型有一个整体了解，然后在以后各章的学习中逐渐深化认识。
第2章 最优化的数学表达
1．假设
。
（1）计算偏导数
，
。
（2）求出上述偏导数在
，
处的值。
（3）写出
的全微分。
（4）计算
时
的值——这意味着当
保持不变时，
与
的替代关系是什么？
（5）验证：当
，
时，
。
（6）当保持
时，且偏离
，
时，
和
的变化率是多少？
（7）更一般的，当
时，该函数的等高线是什么形状的？该等高线的斜率是多少？
解：（1）对于函数
，其关于
和
的偏导数分别为：
，
（2）当
，
时，（1）中的偏微分值分别为：
，
（3）
的全微分为：
（4）当
时，由（3）可知：
，从而可以解得：
。
（5）将
，
代入
的表达式，可得：
。
（6）由（4）可得，在
，
处，当保持
不变，即
时，有：
（7）当
时，该函数变为：
，因而该等高线是一个中心在原点的椭圆。由（4）可知，该等高线在（
，
）处的斜率为：
。
2．假定公司的总收益取决于产量（
），即总收益函数为：
；
总成本也取决于产量（
）：
。
（1）为了使利润（
）最大化，公司的产量水平应该是多少？利润是多少？
（2）验证：在（1）中的产量水平下，利润最大化的二阶条件是满足的。
（3）此处求得的解满足“边际收益等于边际成本”的准则吗？请加以解释。
解：（1）由已知可得该公司的利润函数为：
利润最大化的一阶条件为：
从而可以解得利润最大化的产量为：
；
相应的最大化的利润为：
。
（2）在
处，利润最大化的二阶条件为：
，因而满足利润最大化的二阶条件。
（3）在
处，边际收益为：
；
边际成本为：
；
因而有
，即“边际收益等于边际成本”准则满足。
3．假设
。如果
与
的和是1，求此约束下
的最大值。利用代入消元法和拉格朗日乘数法两种方法来求解此问题。
解：（1）代入消元法
由
可得：
，将其代入
可得：
。
从而有：
，可以解得：
。从而
，
。
的最大值问题为：
一阶条件为：
从而可以解得：
，因而有：
。
4．对偶函数为：
一阶条件为：
从而有：
，
，从而可以解得：
。
