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【专题突破】二次函数面积系列—最值、定值...

本文介绍三类二次函数大题中常见的面积问题:最值问题、定值问题、等值问题,常用处理方法除了上一篇介绍的面积系列之铅垂法之外,还有等积变换也是常用的思路~

01:最值问题

问题描述

如图,抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,连接BC,抛物线在线段BC上方部分取一点P,连接PB、PC,使得△PBC面积最大,求面积最大值及此时P点坐标

【分析】除了上文介绍的铅垂法外,将再介绍一种思路:

构造平行切线:以BC为底边,过点P向BC作垂线PH交BC于H点,求△PBC面积最大,在底边BC确定不变的前提下,PH最大即可.

过点P作PQ∥BC,当PQ与抛物线相切时,PQ与BC距离最大,即PH最大.

如何求解P点坐标

(1)求BC解析式:y=-x+3;

(2)根据PQ∥BC,可设PQ解析式:y=-x+m;

(3)根据相切,联立方程:-x²+2x+3=-x+m,根的判别式为0,可求m的值

(4)根据P点坐标,即可求得△PBC面积的最大值.

但其实即便算出了P点坐标,求△PBC面积也还是要费点事~

不过却为另一类最值问题提供了一种思路:

最值衍生

如图,抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,连接BC,抛物线在线段BC上方部分取一点P,连接PB、PC.

(1)垂线段最值:过点P作PH⊥CB交CB于H点,求PH最大值及此时P点坐标

思路1:所谓PH最大,即△PBC面积最大,可用铅垂法求得△PBC面积最大值,再除以BC即可得PH最大值.

思路2:过P点作PQ⊥x轴交BC于Q点,

则△PHQ∽△BOC,PH:BO=PQ:BC,

(k为直线BC的斜率)

(2)相关三角形最值:过点P作PH⊥BC交BC于H点,作PQ⊥x轴交BC于Q点,求△PHQ周长最大值及面积最大值.

思路:把握住△PHQ∽△BOC,不管是求周长最大还是面积最大,都可转化为PQ最大值.

周长、面积均可求.

2019聊城中考(删减)

如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A(-2,0),点B(4,0),与y轴交于点C(0,8),连接BC,又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l,沿x轴正方向从O运动到B(不含O点和B点),且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P,D,E.

(1)求抛物线的表达式;

(2)作PF⊥BC,垂足为F,当直线l运动时,求Rt△PFD面积的最大值.

【分析】

(1)y=-x²+2x+8;

(2)根据B、C两点坐标

直线BC解析式:y=-2x+8,

设点P坐标为(m,-m²+2m+8),

则点D坐标为(m,-2m+8),

故线段PD=-m²+2m+8-(-2m+8)=-m²+4m

当m=2时,PD取到最大值4,

2019高新区一模(删减)

如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax²-2ax-3a(a>0)与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),经过点A的直线l与y轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.

(1)直接写出点A的坐标,并用含a的式子表示直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示).

(2)点E为直线l下方抛物线上一点,当△ADE的面积的最大值为25/4时,求抛物线的函数表达式;

【分析】

(1)点A(-1,0),点D(4,5a),

可得直线l的解析式为:y=ax+a.

(2)用铅垂法根据最大面积反求参数a.

设E点坐标为(m,am²-2am-3a),

作EF⊥x轴交AD于F点,

则F点坐标为(m,am+a),

EF=am+a-(am²-2am-3a)=-am²+3am+4a

∴当m=3/2时,EF最大值为25a/4.

△ADE面积最大值为1/2×5×25a/4=25/4,

解得:a=2/5.

抛物线解析式为:02:定值问题

问题描述

如图,抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,连接BC,抛物线在线段BC上方部分取一点P,连接PB、PC,若△PBC面积为3,求点P坐标

思路1:铅垂法列方程解

根据B、C两点坐标得直线BC解析式:y=-x+3,

设点P坐标为(m,-m²+2m+3),

过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q,

则点Q坐标为(m,-m+3),

分类讨论去绝对值解方程即可得m的值.

思路2:构造等积变形

同底等高三角形面积相等.

取BC作水平宽可知水平宽为3,根据△PBC面积为3,可知铅垂高为2,

在y轴上取点Q使得CQ=2,过点Q作BC的平行线,交点即为满足条件的P点.

当点Q坐标为(0,5)时,

PQ解析式为:y=-x+5,

联立方程:-x²+2x+3=-x+5,解之即可.

当点Q坐标为(0,1)时,

PQ解析式为:y=-x+1,

联立方程:-x²+2x+3=-x+1,解之即可.

2019临沂中考(删减)

在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=ax²+bx+c(a<0)经过点A、B.

(1)求a、b满足的关系式及c的值.

(2)如图,当a=-1时,在抛物线上是否存在点P,使△PAB的面积为1?若存在,请求出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【分析】

(1)点A(-2,0),点B(0,2),

代入解析式可得:c=2,4a-2b+2=0

(2)考虑A、B水平距离为2,

△PAB的面积为1,故对应的铅垂高为1.

当a=-1时,可得b=-1,

抛物线解析式为y=-x²-x+2.

取点C(0,3)作AB的平行线,

其解析式为:y=x+3,

联立方程-x²-x+2=x+3,解得x=-1,

故点P1坐标为(-1,2)

取点D(0,1)作AB的平行线,其解析式为:y=x+1,

联立方程-x²-x+2=x+1,解得:

     

对应两个P点坐标分别为:

     

同样,等积变形还适合:等积问题.

03:等值问题

问题描述

如图,抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,连接BC,抛物线上存在一点P使得△PBC的面积等于△BOC的面积,求点P坐标

思路1:铅垂法

计算出△BOC面积,将“等积问题”转化为“定积问题”,用铅垂法可解.

思路2:构造等积变形

过点O作BC的平行线,与抛物线交点即为所求P点,

另外作点O关于点C的对称点M,过点M作BC平行线与抛物线的交点亦为所求P点.

先求直线解析式,再联立方程即可求得P点坐标

2019凉山州中考

如图,抛物线y=ax²+bx+c的图像过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3).

(1)求抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得△PAC的周长最小,若存在,请求出点P的坐标及△PAC的周长;若不存在,请说明理由;

(3)在(2)的条件下,在x轴上方的抛物线上是否存在点M(不与C点重合),使得△PAM面积与△PAC面积相等?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

 

【分析】

(1)抛物线解析式为:y=-x²+2x+3;

(2)将军饮马问题,作点C关于对称轴的对称点C’(2,3),连接AC’,与对称轴交点即为所求P点,可得P点坐标为(1,2),△PAC的周长亦可求.

(3)过点C作AP平行线与抛物线交点即为M点,联立方程得解;记AP与y轴交点为Q点,作点C关于Q点的对称点点D,过点D作AP的平行线.

抛物线在x轴上方部分的交点即为所求M点,

联立方程得解.

写在最后:

最值问题用铅垂,

定值等值构等积.

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