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如何“秒杀”选择题和填空题

如何“秒杀”选择题填空题

高考数学题,每年都有一些选择题或者填空题可以被优秀考生“秒杀”,即通过使用灵活的技巧,快速准确地得到答案,从而节省宝贵的解题时间。事实上,高考既要考察考生的基础知识和基本技能,也要考察考生灵活的思维素质,从而遴选不同思维品质的考生进入不同层次的高校学习。因此,命题时有意设置适当数量的这种题目,是完全正确的,这一点,高考命题专家有过专门论述。这种题,用传统的“小题大做”方法当然也可以解决,但是要耗费考生大量的时间,而用秒杀技巧,则只要数妙即可。由于学生自读初中以来,已经习惯于用按部就班的思路解题,习惯于“小题大做”,而不太适应高考的这一精神,因此,教师向学生介绍有关“秒杀”的技巧,也是必要的。

综观历年高考题,“秒杀”的技巧大致有下列数种——

一、作图秒杀。运用数形结合的数学思想,通过作图帮助解决问题。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【例1】(2011陕西)方程

内(   )

A、没有根         B、有且仅有一个根  

C、有且仅有两个根 D、有无穷多个根

解析:如图,知选C。

【例2】(2011北京)已知

函数

。若关于

的方程

有两个不同的实数根,则的取值范

围是                 。

解析:作草图,由图知,

二、代值秒杀。就是以符合选项条件的具体数值代入分别题干,或者反过来,看哪个数值符合要求,从而确定选项的方法。因为仅仅涉及数值计算,大大节省精力与时间,所以是一种常用的方法。

【例3】(97年高考)不等式组

的解集是(  )

A、

  B、

 C、

 D、

解析:直接解肯定是错误的策略;四个选项左端的值都是0,只有右端的值不同,在这四个值中会是哪一个呢?它必定是方程

的根!,代入验证:2不是,3不是,2.5也不是,所以选C。

【例4】不等式

的解集是(   )

A、

        B、

  

C、

          D、

解析:如果直接解,相当于一道大题;取

代入原不等式,成立,排除B、C;取

,代入,不成立,排除D,选A;另外,由

时不等式显然成立,而

时不等式显然不成立,故选A。

三、直觉秒杀。直觉就是跳过过程直接觉察到问题的结果。

【例5】△ABC中,cosAcosBcosC的最大值是(  )

A、

     B、

       C、1     D、

解析:本题选自某一著名的数学期刊,作者提供了下列 “标准”解法:

设y=cosAcosBcosC,则2y=[cos(A+B)+ cos(A-B)] cosC,

∴cos2C- cos(A-B)cosC+2y=0,构造一元二次方程x2- cos(A-B)x+2y=0,则cosC是一元二次方程的根,由cosC是实数知:△= cos2(A-B)-8y≥0,

即8y≤cos2(A-B)≤1,∴

,故应选B。

这就是“经典”的小题大作!事实上,由于三个角A、B、C的地位完全平等,直觉告诉我们:最大值必定在某一特殊角度取得,故只要令A=B=C=60°,即得答案B,这就是直觉法的威力,这也正是命题人的意图所在。)

【例6】(97全国理科改编)函数

的最小正周期是      。

解析:意识到总有

,所以函数

的周期只与

有关,这里

,所以直接填

即可,没必要化时间去化简运算。

四、整体秒杀。这是基于从宏观上整体把握问题而产生的一中解题策略,是整体思想在解答小题方面的应用:不管细微末节,直奔目标。

【例7】、(07浙江文8)甲乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即以先赢2局者为胜,根据以往经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛中甲获胜的概率为(  )

A、0.216      

B、0.36        C、0.432      D、0.648

解析:先看“标准”解法——甲获胜分两种情况:①甲:乙=2:0,其概率为0.6×0.6=0.36,②甲:乙=2:1,其概率为

,所以甲获胜的概率为0.36+0.288=0.648,选D。

现在再用整体法来解:因为这种比赛没有平局,2人获胜的概率之和为1,而整体来看甲获胜的概率比乙大,应该超过0.5,只有选D。)

【例8】、已知

 都是正数,则

 的最小值为        。

从学生答题情况来看,此题得分率很低,其根本原因是不会把

当作一个整体来看。令

,则运用基本不等式很快得解,答案为4。

五、定义秒杀。定义是知识的生长点,一切定理和公式都是由定义派生的,因此,抓住定义,就等于回到了知识的源头,有利于高层次地快速解决问题。

【例9】、点P是以

为焦点的椭圆上的一点,过焦点

的外角平分线的垂线,垂足为

,则点

的轨迹是(   )

A、圆   B、椭圆  C、双曲线   D、抛物线

解析:连接

,则

是△

的中位线,所以

定值,所以M的轨迹是圆,选A。

【例10】已知

,则

      ;已知函数

那么

          。

解析:根据反函数的定义,交换

的位置,即可得解。

六、特例秒杀。原理是:如果问题对一切情形都成立,则对特殊情形也成立。

【例11】(06北京理7)设

,则

(  )

A、

   B、

  C、

  D、

解析:此题是等比数列求和,难在项数的确定。

,则

,对照选项,选D。

【例12】(1993年全国改编)在各项均为正数的等比数列

中,若

,则

         。

解析:因答案确定,故取一个满足条件的特殊数列

即可,填10。

七、模型秒杀。把问题放置在符合条件的几何体或者某个情境中,使问题变得简单明了。

【例13】两条异面直线

的射影互相垂直,则下列关于

所成角的选项中正确的是(  )

A、

必成直角 B、

必成钝角 C、

必成锐角D、以上皆错

解析:在正方体中,先取底面对角线作为

的射影,再在含有底面对角线的对角面中找异面直线

,即知A、B、C错误,选D。此题容易误选A。

【例14】由三根细棒PA、PB、PC组成的支架,PA、PB、PC两两所成的角都为60°,一个半径为1的小球放在支架上,则球心

O到点P的距离是

             。

解析:这是近年高考模拟题中的一道把关题,许多考生被它折磨得烦躁不堪。实际上,在正方体

中,AD1、AC、AB1三条面对角线就是所指的支架,则小球内切于正方体中,因此所求球心O到点P的距离是正方体主对角线长的一半,填

这个解法是王博威同学发现的,他的这个解法震惊了在场的其它同学。

八、筛选秒杀。从条件出发,运用定理、性质、公式推演,根据“四选一

”的规则,逐步剔除干扰项,得出正确选项。

【例15】.已知

在[0,1]上是

的减函数,则

的取值范围是(  )

A、(0,1)     B、(1,2)     C、(0,2)       D、[2,+∞

 

解:∵2-ax是在[0,1]上是减函数,所以a>1,排除答案A、C;若a=2,由2-ax>0得x<1,这与x

 [0,1]不符合,排除答案D,所以选B。

【例16】若

,则

(  )

A、-1      B、1     C、0      D、

解析:考虑到系数取绝对值以后,其和会相当大,排除A、B、C,选D。

九、估值秒杀。有些问题,属于比较大小或者确定位置的问题,我们只要对数值进行估算,或对位置进行估计,可避免因为精确计算或严格推演而浪费时间。

【例17】已知

是方程

的根,

是方程

的根,则

( 

A、6     B、3    C、2       D、1

解析:此题可以数形结合来解,也可根据反函数的定义来解,但是都不如用估值法来得快捷:因为

是方程

的根,所以

是方程

的根,所以

所以

,选B。

【例18】(07海南、宁夏理11文12)甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次,三人测试成绩如下表:

 

 甲的成绩

 

 

 环数

 

 

 7

 

 

 8

 

 

 9

 

 

 10

 

 

 频数

 

 

 5

 

 

 5

 

 

 5

 

 

 5

 

 

 乙的成绩

 

 

 环数

 

 

 7

 

 

 8

 

 

 9

 

 

 10

 

 

 频数

 

 

 6

 

 

 4

 

 

 4

 

 

 6

 

 

 丙的成绩

 

 

 环数

 

 

 7

 

 

 8

 

 

 9

 

 

 10

 

 

 频数

 

 

 4

 

 

 6

 

 

 6

 

 

 4

 

分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差,则有(   )

A、

  B、

 C、

 D、

解析:固然可以用直接法算出答案来,有些“标准答案”正是这样做的,但是显然时间会花得多。你可以用估值法:他们的期望值相同,离开期望值比较近的数据越多,则标准差会越小!所以选B。这当然也可以看作是直觉法。

十、趋势秒杀。把问题置于某一变化过程中,让静止的问题运动起来,根据运动变化的趋势来判断答案。

【例19】(06年全国卷Ⅰ,11)用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的5根细木棍围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为多少?

A、8

 

 cm2  B、6

 

 cm2C、3

 

 cm2D、20 cm2

解析:此三角形的周长是定值20,当其高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线,其面积趋向于零,可知,只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时也就是形状接近于正三角形时面积最大,故三边长应该为7、7、6,因此易知最大面积为

cm2,选B。

【例20】(06辽宁文11)与方程

的曲线关于直线

对称的曲线方程为(   )

A、

B、

C、

D、

解析:用趋势判断法:显然已知曲线方程可以化为

,是个增函数。再令

那么

那么根据反函数的定义,在正确选项中当

时应该有

只有A符合。当然也可以用定义法解决,直接求出反函数与选项比较之。

结语:以上是高考中经常考察的方法,此外,还有逆向思考法,等价转化法,极端情形法,现场操作法,经验联想法,等等。事实上,在实战中要善于多法结合,组合出击,则可以更加多地节省解题时间,也有利于提高学习兴趣。

主要参考文献:

1、《怎样解题》第四次修订版 薛金星主编 北京教育出版社

2、《怎样解题》第三次修订版 薛金星主编 北京教育出版社

3、《高考数学测量研究与实践》修订版 任子朝主编 教育部考试中心高等教育出版社

4、近年高考试卷。

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