数值方法研究自然数等幂和

此文为计算方法授课用材料

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小学生都会用Gauss的办法做下面的求和问题

S（n）= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ..... + n 。

这个问题的一个自然推广是一般的等幂和问题，

S_k(n) = 1^k + 2^k + 3^k + ....... + n^k . 

这样的问题需要一点技巧，计算也很复杂。

这样的求和问题，让人想起相应的对幂函数x^k的积分问题。所以一个自然的猜测是，S_k(n) 是n的一个（k+1）次多项式。我们可以利用S的前k+2个值定下此多项式的系数。

下面是相应的matlab程序。

clear all; close all; clc; 

alpha = 3;  N = 100;

sum = zeros(N,1);

sum(1) = 1 ;

for s = 2 : N

    sum(s) = sum(s-1) + s^alpha;

end

vanM = zeros(alpha + 2);

for s1 = 1 : alpha+2 

    for s2 = 1 : alpha +2 

        vanM(s1, s2) = s1.^(s2-1);

    end

end

coeff = vanMsum(1:alpha+2)

%------------

在上面k=3，程序返回的系数数组为

coeff =

         0

         0

    0.2500

    0.5000

    0.2500

所以我们知道，S_3(n) = (1/4) n^4 + (1/2) n^3 + (1/4) n^2. 利用归纳法，很容易验证此表达式是对的。这是数值方法对解析研究提供帮助的一个简单实例。