独立是一个在生活中极其普通的常用词，而在文史、政治、经济、法律、理、工、医、农各科中都有与之有关的专用名称，似乎值得说几句。
古代汉语中往往一个字就是一个词，独是单独，立是站立，独立就是单独站立。例如，
《论语·季氏》：“尝独立， 鲤趋而过庭。”这是说孔子有一次一个人站立在庭中，他的儿子孔鲤趋而过。趋是小步而快走，这是古人在尊长前走路应有的姿势，表示恭敬。
杜甫有题为《独立》的诗，写的就是他独自站立时，由看到鸟儿相食而想到人间事：“天机近人事，独立万端忧。”
直到现代，人们还有这样的用法，如，“独立寒秋，湘江北去，橘子洲头。”
由人的单独站立可以引申到物的单独站立，如独立的山、独立房舍、独立的树等等。
比较极端一些的“独立”，是用一条腿的立，如所谓的金鸡独立。我们普通人打太极拳一条腿站立另一条腿抬得并不高，舞台上的京剧演员则要把另一条腿举过头顶。
独，是獨的简化字。形声字，从犬，蜀声。为什么从犬？清代文字学家段玉裁说：“犬好斗,好斗则独而不群。”
立，本义就是人站着。也可以引申为事业的成功、名誉的树立等等。如孔夫子所说的三十而立。
这样，独立可以引申为不依靠其他事物而存在以及不依靠他人而自立。
这种引申，自古就有。例如，《老子》：“有物混成，先天地生……独立而不改，周行而不殆（不依靠外力独自长存而永不停息，循环运行而永不衰竭）。”
《荀子·儒效》：“而师法者，所得乎情，非所受乎性；不足以独立而治。”表示不能仅仅用“师法”来治理国家。
到了近代和现代，这种“不依靠其他人或事物”意义上的“独立”，正好与英语的independent相对应，就把independent翻译成“独立的”。这样，独立这个词的用处就更广泛了。
如说，作独立的研究，作独立的工作，有独立的思想，有独立的人格，有独立的经济,是一个独立的国家，是一个独立的女性等等。
在现代汉语的绝大多数应用中，独立这个词就差不多都可以对应于independent这样的意思。
数学中的变量，有自变量和因变量。如果只有一个自变量，那毫无疑问是独立的。如果有两个以上的自变量，那么它们也必须是相互独立的，否则就称不上自变量了。
所谓变量不独立，就是一个变量可以由其他的变量用一个表达式表示出来。这在教科书上说说好像很简单。但是在实际生活中，要判断哪些变量是独立的，实在并不是一件容易的事情。
比如某一种疾病或者症状如高血压，可能跟许许多多因素有关，但是到底那些是真正的“自变量”，这就很难说了。即使找到了一些致病的因素，这些因素中哪些是独立的？要找出这些独立的变量，是非常麻烦的事情。
对于相对简单的物理问题，设置了一个模型，也往往会有多个独立变量的问题。
就说氢原子的问题吧。这是一个最简单的原子体系，只有一个原子核和一个电子。如果在我们这个三维空间以坐标为变量来研究这个体系，它就有6个坐标——原子核的三个坐标和电子的三个坐标。
要研究氢原子体系，就要解出这个体系的薛定谔方程。以坐标为变量，如上面所说，氢原子体系的定态薛定谔方程包含了6个变量。这是一个含有6个变量的偏微分方程，不能一下子解出。
但是，由于这6个变量是相互独立的，我们可以作坐标变换，把氢原子核和电子的坐标，变换成氢原子核与电子的质心坐标和围绕质心运动的相对坐标。这样，就得到质心的三个坐标和相对运动的三个坐标。
经过这样的处理后，含有6个坐标变量的氢原子体系的薛定谔方程就可以变成两个独立的方程。一个表示质心平动，包含三个质心坐标，另一个是围绕质心运动的相对运动方程，包含三个相对坐标。
由于氢原子核的质量是电子质量的1836倍，质心的质量差不多就是原子核的质量，相对坐标对应的质量差不多就是电子的质量。因此，这样处理的物理意义就近似等于把坐标原点放在原子核上，来处理电子围绕原子核运动的薛定谔方程。这个方程就只有电子的三个坐标了。
在三维空间，我们可以取直角坐标，它们是电子在三维空间点的xyz三个直角坐标，这是三个独立的变量。也可以取球坐标，也是三个坐标，一个是电子与坐标原点即原子核之间的距离，称为径向坐标，两个角度确定核与电子之间连线即径向坐标的方位。这也是三个独立的变量。
由于核与电子之间吸引力的大小只与它们之间的距离有关，与电子的方位无关。我们处理这个问题就应当用球坐标系。这样，就能够把径向部分与角度部分分别处理。
通过这种被称为变量分离的方法，把含有多个变量的偏微分方程，分离称为只含有一个变量的常微分方程。在解这个薛定谔方程的时候，考虑到解的唯一性和必须满足的边界条件，即这是一个原子，电子被原子核吸引，并不会跑到无穷远处（跑走了就不是原子而是离子了）。在这个过程中，能够得到主量子数、角动量量子数、磁量子数的概念以及体系的能量必须是量子化的结论。也就是得到了氢原子的诸如1s，2s，2p，3s，3p，3d，4s等波函数以及它们的能量。
从氦原子开始的多电子原子，就含有了更多的电子。由于电子之间的相互作用。它们的薛定谔方程不能像氢原子那样简单的分离变量而解析地解出来。但是，我们可以把其他电子对某一个电子的作用作一个大略的平均，并且与原子核对这个电子的作用一起考虑。这样就可以把多电子原子中的电子分别像氢原子一样来处理了。这个模型，称为独立粒子模型。如上面所说，独立粒子模型并不是不考虑电子之间的相互作用，而只是把它们作平均化处理。
我们现在对于多电子原子就是这样处理的，所以我们说到某一个原子时，也常常说它的诸如1s，2s，2p，3s，3p，3d，4s等轨道，以及占据在这些轨道上的电子。换句话说，我们现在说一个原子的原子轨道时，都是用了这个独立粒子模型。如果没有这个模型，多电子原子就没有诸如1s，2s，2p，3s，3p，3d，4s此类的轨道。
因此，如果不用独立粒子模型，整个化学和原子物理的现象都无法用简单的语言来解释。显然，独立粒子模型方法得到了极大的成功，以至于如今没有哪一位化学教师可以不用这些原子轨道来解释一个化合物的化学性质和任何一个化学反应。
但是我们应当记住，我们说某个原子的某一个轨道比如3d轨道上的电子有什么性质，可以与什么相互作用等等，都是在独立粒子模型下得到的结果。
我们的文字很有意思，独和孤的意思基本上一样，孤就是独，连起来称孤独。在古汉语中，独立和孤立可以有相近或相同的意思。但是，发展到如今的现代汉语中，孤立与独立意思差别还是很显著的。在实际应用中，孤立往往相当于英语的isolate，强调与别的事物相隔离、隔绝、没有联系，而独立则更强调不依靠、不依赖。上面的独立粒子模型就不是把一个个电子孤立起来考虑。
同样，我们做研究工作要独立完成，但是决不能把自己孤立起来，要与同行们多联系，经常交流、讨论，才能有进步。
