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对人教版七年级《数学》中反证法应用的质疑
杨六省
yangls728@163.com
何为反证法？笔者先引述一个关于反证法的词条：
反证法是间接论证的方法之一。亦称“逆证”。是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。反证法的论证过程如下：首先提出论题：然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的。在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题。（摘引自由“‘科普中国’科学百科词条编写与应用工作项目”审核的“反证法”词条）
说明：
①在金岳霖主编的《形式逻辑》一书第291页中，也有与上述类似的表述：“只有论题的矛盾判断才能作为矛盾论题。”（笔者注：矛盾论题即反论题）
②矛盾判断是指，其中一个真则另一个假，一个假则另一个真。
笔者试问人教版《数学》（七年级下册）的编者：是谁在误导初中数学教师错误的应用反证法？
人教版《数学》七年级下册第58页有如下论述：
√2=p/q，
于是 p=√2q.
两边平方得 p2=2q2.
由2q2是偶数，可得p2是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.
因此可设p=2s，代入上式，得4s2=2q2，即
q2=2s2.
所以q也是偶数. 这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾.
这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数.
笔者评析：关于“√2不是有理数”的证明，原论题是“√2不是有理数”，其表达式是“√2=p/q（p和q不全是整数）”；反论题是“√2是有理数”，其表达式是“√2=p/q（p和q全是整数）”。把一个分数化成最简分数，本是一件“好事”。但列宁说的好，真理再向前迈出一步，就会变成谬误。下面我们将揭示，把反论题的表达式“√2=p/q（p和q全是整数）”中的“p/q（p和q全是整数）”改写成最简分数的形式是一种失误，因为它使得反证法能够得以有效应用的基本条件——“只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题”——不复存在。
“原论题真”是指，对于“√2=p/q”而言，“p和q不全是整数”成立。这时，谈论“p，q互质”的真假是没有意义的。也许有人会说，不妨把“p，q互质”没有意义“理解为假”。但问题是，在教科书中，“互质”与“非互质”概念都是针对两个整数而定义的，我们不可以违反同一律，在同一个论证过程中，对“p，q互质为假”这一说法赋予相互矛盾的含义。因此，上述那个“理解为假”是行不通的。简言之，如果“原论题真则反论题（指改写后的表达式“√2=p/q（p，q互质）”所代表的新的反论题，下同）假”成立，则前件要求认可“p和q不全是整数”，后件则相反，矛盾，故“原论题真则反论题假”不成立。
同理，“反论题假则原论题真”也不成立。
综上分析，教科书中所设定的新的反论题与原论题并非矛盾判断关系，因此，教科书是在不合理的应用反证法。事实上，按照教科书的思路，由“p是偶数”和“q是偶数”这样的结论（注：姑且不论其推理是否有效）只能否定“√2=p/q（p，q互质）”，而不能否定“√2=p/q（p和q全是整数）”，因为“p是偶数”和“q是偶数”与“√2=p/q（p和q全是整数）”中的“p和q全是整数”并不矛盾；而由对“√2=p/q（p，q互质）”的否定，只能肯定“√2=p/q（p，q非互质）”，因为后者与前者是矛盾判断关系——由于“非互质”概念是针对两个整数而定义的，从而只能推出“p和q全是整数”，而不能推出“p和q不全是整数”，即不能推出√2不是有理数。但人教版教科书却写道——“这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾。这个矛盾说明，√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数。”如上所述，“√2=p/q（p，q互质）”与 “√2=p/q（p和q不全是整数）”并非矛盾判断关系，试问人教版编者：“p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾”，那么，如何根据这个矛盾就能够说明“√2不能写成分数的形式，即√2不是有理数”呢？如果这样的“说明”站不住脚，那就不能认可教科书中的证明是有效的，不管这个证明来源于哪里！
我们还可以换一个角度来解释，为什么不可以把“√2不是有理数”的反论题“√2是有理数”的表达式“√2=p/q（p和q全是整数）”改写成“√2=p/q（p，q互质）”？在“√2=p/q（p和q全是整数）”中，等式的左边是无理数√2，右边是一个分数表达式，所以，“√2=p/q（p和q全是整数）”是一个矛盾式。希尔伯特说，“如果一个概念具有矛盾的属性，那我就认为这概念在数学上不存在。”因此，表达式“√2=p/q（p和q全是整数）”不具有存在性。现今的人们都知道，√2具有客观存在性，再加上它又是我们所讨论的对象，所以，我们无疑的会认可√2在“√2=p/q（p和q全是整数）”中的存在性。这样说来，“√2=p/q（p和q全是整数）”之所以不存在，只是由于等式的右端不存在。试问，对于一个不具有存在性的东西，何以能够谈论分数的化简呢？还可以换一种说法，现今的人们都知道，对于“√2=p/q”而言，其中的p和q不可能全是整数，在这种情况下，谈论分数的化简有意义吗？也许有人会说：倘若你我都不知道√2是不是有理数，那么，凭什么理由反对我们把“√2=p/q（p和q全是整数）”中的“p/q（p和q全是整数）”改写成最简分数“p/q（p，q互质）”呢？笔者的回答是，对于一个独立存在的分数，或是在满足协调性的情况下，把一个分数“p/q（p和q全是整数）”化成最简分数“p/q（p，q互质）”，这是天经地义的事，笔者对此不持异议。但是，倘若我们并不知道√2是不是有理数，并不知道“√2=p/q”中的p和q是不是全是整数，在这种不明真相的情况下，贸然的对“√2=p/q（p和q全是整数）”中的“p/q（p和q全是整数）”实施最简分数的化简，就是一种不合理的做法。理由是，务必把“无意义的判断”与“假的判断”区别开来，例如，“这只苹果是不甜的”可能是一个假的判断，但它是有意义的，因为味道（不管甜与否）毕竟是苹果的属性；但是，如果我们说，“这只苹果是深刻的”，或说“这只苹果是不深刻的”，这样的判断就是无意义的，因为思想不是苹果的属性。简言之，“p和q是否全是整数”是表达式“√2=p/q”的属性，但“p和q是否互质”则不一定是“√2=p/q”的属性（注：这里是指，假设我们尚不知道√2是不是有理数）。正是由于这个原因，上述“贸然的做法”可能会使我们陷于无意义的判断，从而陷于荒谬，因此，它是不合理的。
我们不仅要知道反证法的定义是什么，更要能够把握其思想要旨——被设定的反论题，务必与原论题是矛盾判断关系。但是，我们的教科书（注：不只人教版），强调了这一点吗？
附：本文作者的证明
命题：对于√2= p/q ，其中的p和q不可能全是整数。
证明：我们总可以把√2= p/q写成p2=2q2（q是整数）的形式。
① p不可能是偶数
假设p是偶数，设p=2r（r是整数）,代入p2=2q2,得p2=2r2。如果p2=2q2（q是整数）中的p是偶数，那么，p2=2r2（r是整数）中的q也是偶数；……这样下去，就会推出p和q均含有无穷多个因数2（注：例如，关于p，开始假设p=2r；后面还会假设r=2t；……），从而说明p和q均不是整数，但这与先后假设的q是整数和p是偶数相矛盾，故对于p2=2q2（q是整数）而言，p不可能是偶数。
② p不可能是奇数
理由是，奇数的平方不可能是偶数。
综上所述，对于p2=2q2（q是整数）而言，p不可能是整数，换一种说法，对于√2= p/q ，其中的p和q不可能全是整数。
担心在转载过程中出现差错，特将杨六省老师的原文作为附件带上，以便参考。
杨六省修改稿.doc
