本科生科研指南（33）：浮力原理
张宇宁
华北电力大学（北京）
在中学的物理课本中，同学们已经初步学习了浮力原理，即浸没在液体中的物体会受到垂直向上的浮力，其大小等于该物体排开的液体所受到的重力。这个定理是希腊学者阿基米德最先发现的，因此也称其为阿基米德原理。但是，在中学物理课本中，并没有详细讲述该原理的来龙去脉。实际上，阿基米德原理是前面在第32期“咖啡壶奥秘”中提到的中学课本中压强基本概念的一个重要推论。基于静止流体中压强的基本公式，本文详细地给同学们介绍一下阿基米德原理的推导过程及其相关的一些知识点。
关于阿基米德发现浮力原理的过程，相关传说有很多个版本，其中一个被广泛流传的版本是从公元4-5世纪的拉丁诗歌（注一）中讲述的故事传承下来的。该诗歌讲述了阿基米德当时应国王的邀请检查国王的王冠在制作过程中是否被掺杂了其他的金属。在思考此问题的过程中，阿基米德冥思苦想也没有找到合适的方法。有一天，阿基米德正在浴缸中洗澡，突然有了灵感，提出了通过比较王冠和制作所需的等量黄金所排开水的体积的方法测量王冠是否被掺假。基于此，阿基米德提出了浮力原理及其计算公式，即我们课本中熟知的浮力计算公式。
图一 思考中的阿基米德
该画作由画家Domenico Fetti 绘制于1620年
为了推导阿基米德原理并深入讨论该议题，我们现在对一个完全浸入到水中的球体（见图三）进行受力分析。外界的大气压我们用p0表示。图中A和B点是球体两侧的两个极点，其沿着重力方向的垂线与容器内水的液面分别相交于C和D点。根据中学课本中的静止液体压强公式，在距离液面一定水深处的一点，球体在点所受到的压力等于液体密度乘以重力加速度再乘以距离液面的高度再加上外界大气压。
图三 完全浸没在水中的小球示意图
从压力的性质可知，水中压力的方向是垂直于物体表面且沿着内法线方向的。因此球的上表面所受到水的压力是向下的，而下表面受到水的压力则是向上的。因此，我们将小球分成两部分并分别进行受力分析。对于下表面，我们可以按照微积分的思想将其分成无数个小的微元，其受到的压力等于该微元处的流体压强乘以微元的截面积。因为A和B点在同一高度，压力在水平方向上的分量会自行抵消，所以我们只需要考虑竖直方向上的力即可。将上述求得的力沿着垂直方向进行分解并进行求和（即积分）便得到了下表面受到的浮力，其方向是向上的。在分解的过程中，为了方便起见，我们可以将微元截面向水平方向进行投影。另外，按照上述的计算，我们发现上述积分正好等于由图四中的红色斜线所标记区域所具有的体积。
图四 小球下半部分所受到的压力分析
我们现在用同样的办法对小球的上表面进行受力分析，其数值大小等于图五中的红色斜线所标记区域的体积。同时，注意到流体对小球上表面产生的压力方向是向下的，我们在其前面增加一个负号。我们将上、下表面所受到的垂直方向上的力进行相加便得到了小球所受到的浮力的大小。在上述运算过程中，在上下表面受力分析过程中得到的两个体积相减则正好等于小球本身的体积。另外，大气压强在计算过程中互相抵消对浮力并没有影响。因为上述两个体积相减总是为正值，所以小球受到的浮力是竖直向上的。这个时候，我们便通过运用中学课本中的压强公式和微积分证明了阿基米德浮力原理。在上述推导过程中，我们基本上只使用了一些基本的微积分思想以及流体压强的若干特性。但通过这个推导过程，我们对中学物理里的浮力原理更进一步地加深了认识。
图五 小球上半部分所受到的压力分析
现在，我们围绕浮力做一点拓展思考。根据浮力原理，物体所受到的浮力只与其排开液体的体积有关。因此，潜水器无论是处于10米深还是1000米深的水中，其所受到的浮力都是一样的。不同的是，潜水器的内部和外部间的压差在不同的水深时会有极大的不同。在游泳池中，如果我们不运动的话，身体便会下沉，这主要是因为所受到的水的浮力较小，无法抵消重力。人体的平均密度大概为1.026 g/cm3，比水的密度1.000 g/cm3略大，因此人在游泳池中不动的话会沉底。一般海水的密度1.030 g/cm3，跟人体的大致相当，海水中游泳时也是会下沉。可以想象一下，只要往水中加入足够的盐，水的密度便会显著提升，从而人便可以在其中浮起来了。例如，死海中的盐度很大，其密度为1.100 g/cm3，难怪人在其中可以毫不费力地浮起来。
另外，还可以从能量守恒的角度思考流体静压强的基本公式。在流体中，机械能主要包括重力势能、压强势能、动能三种。当流体静止时，其动能为零。当流体从较高的位置变化到较低的位置时，流体的重力势能降低了，并全部被转化为了压强势能。因此，流体中的压强便会升高，其具体的升高数值用中学课本中的压强公式计算即可。因此，中学课本中的流体静压强计算公式也可以看作是能量守恒在静止流体中的表现形式。
从中学课本的浮力原理到本文的推导，本科生在增长知识见识的过程中可以体会以下几点。
1. 知识升华。从中学课本中对浮力原理的简单介绍到大学教育中从流体力学角度对浮力原理的详细推导，实际上是对知识不断地加深理解、认识和思考的过程。正如本文所展示的，同一个知识点从不同的维度去进行理解是一种很好的个人思维训练方法和手段。
2. 重视基础。在本文的推导过程中，同学们需要用到若干微积分的思想和技巧。实际上，很多大学课程的学习都需要前期掌握必要的基础知识。例如，公共基础课微积分是学好流体力学等专业核心课程的前提，而流体力学知识又是深入理解专业主干和选修课程的必要储备。由于上述课程间存在着较强的耦合，本科生在学习过程中应尤其注意，打好基础为要。
3. 适用范围。中学课本以及本文的讲述过程中举的例子一般都是浸没在液体中物体的浮力。那么，浮力公式是否适用于气体中的情形呢？实际上，如果气体的密度变化很小甚至可以忽略时，可利用浮力公式对该情形进行简单的估算。例如，比如，公园中常见的氦气球便是利用浮力原理在空气中实现浮升的。氦气的密度0.1786 kg/m3，远低于空气的密度1.2900 kg/m3。此外，中国科学院正在进行的科学考察用的浮空艇的内部也是充的氦气（见图六）。值得注意的是，与水不同的是，空气的密度受到众多因素的影响，包括海拔、气候等等，导致浮力和压强的计算更为复杂。
图六 中科院青藏高原科学考察使用的浮空艇
注释部分
注一： 该拉丁诗歌的名字是Carmen de ponderibus et mensuris。
