本科生科研指南（46）：无量纲数之弗劳德数
张宇宁
华北电力大学（北京）
2019年12月17日下午，山东号航空母舰在海南三亚的军港正式交付我国海军，这标志着我国向海军强国又迈出了重要一步。山东舰可谓是一个庞然大物，长315米，宽75米，满载排水量约为7万吨，吃水深度约为11米。相信同学们都很好奇这样一个巨型军舰的具体建造过程以及其所依据的原理。本期，我们重点围绕无量纲数弗劳德数及模型水池的概念对相关的流体力学原理进行简要的介绍。
图一 山东号航空母舰（注一）
19世纪，船舶工业蓬勃发展，需求量巨大。但由于真实的船舶尺寸极其巨大，如何有效地在早期的设计阶段进行详细的实验研究和优化设计是摆在船舶工业界面前的重要科学问题。1861年，英国工程师威廉姆·弗劳德发表了一篇论文，探讨了采用按照真实船舶等比例缩小的模型船体进行试验研究的可能性，并依据此推测真实船舶的各种重要指标。该论文中，他还提出了一个在模型船舶和真实船舶间进行重要参数换算的公式，也就是后续以他的名字命名的无量纲准则数。为了验证该理论，他自己建造了3个分别为3、6和12英尺的模型船舶，并在水池中对其进行了详细的实验，并依据这些测得的数据预测真实船舶的各项重要指标。上述论文发表后，获得了广泛的认可，极大地促进了船舶工业的发展以及模型水池的建设。在此过程中，海军造船师Ferdinand Reech也对该理论的形成有一定的贡献。随后，世界上第一个模型水池便在英格兰西南部原德文郡南部城市托基（注二）建造。弗劳德的工作为船舶工业提供了重要的理论基础，影响深远。除此以外，在水射流驱动领域，也有以弗劳德名字命名的物理量，被称为“弗劳德推进效率”，用于衡量输出功率和输入功率的比值。
图二 威廉姆·弗劳德（注三）
现在，我们来具体的探讨一下弗劳德数的物理意义和定义式。具体而言，弗劳德数表征了惯性力与物体所受到的重力的比值，其定义式为运动物体的特征速度与重力加速度乘以物体的特征长度后开二次根号的比值。围绕具体的问题和研究对象，弗劳德数中相关变量的选取举例如下。
应用案例一：对于船舶，特征速度一般取为船舶与海水的相对速度，特征长度一般取为船舶的长度。
应用案例二：对于潮汐波以及其他一些浅水波现象，特征速度一般取为波的运动速度，特征长度一般取为深度。另外，可以依据弗劳德数的大小进行流动状态的划分。弗劳德数小于1的流动称为亚临界流动，而弗劳德数大于1的流动称为超临界流动。
应用案例三：对于旋转搅拌过程，由于速度等于旋转角速度乘以特征半径，因此弗劳德数可以进一步定义为旋转角速度乘以根号下的特征半径除以重力加速度。
应用案例四：对于分层流动或者不同密度流体的流动（例如，冷水与热水相混合的流动），重力加速度项应进行适当修正，应将其乘以两种流体间的密度差并除以典型流体的密度。
应用案例五：对于在其他星球发生的流动，需要采用该星球的重力加速度。
应用案例六：在生物学领域，羊等哺乳动物腿部移动过程中的动力学行为研究也可以采用弗劳德数进行，其反映了离心力与重力的比值。对于该问题中特征长度的选取，不同的研究议题的选择有可能不同，有的研究人员只计算羊腿关节以下的长度，而有的研究人员则采用整个腿的长度。
2020年，我国即将进行火星探测器的发射。火星表面的重力是地球表面重力的0.38（注四）。因此，火星上的物体所受到的重力比地球要小。同样的特征速度和特征长度下，火星上的弗劳德数较大，这些知识对于火星探测器在火星表面成功着陆非常重要。
从弗劳德数的故事中，同学们可以体会到数学物理基础的重要性。弗劳德的第一份工作是在铁路公司做测量师，并在1837年至1844年间负责建造了英国布里斯托到埃克塞特间的部分铁路。在此过程中，通过丰富的工程实践，他很熟练地掌握了铁路建设中的重要设计准则以及经验方法，并在此基础上进行了创新，改进了拱形桥和交叉点的设计。后来，弗劳德的兴趣在英国知名工程师布鲁奈尔的引导下逐渐转向船舶建造和设计领域，并在后来取得了很大的成就。从铁路、桥梁界到造船界，弗劳德的跨度可谓很大，但他却能够很好地转型成功并成果丰硕。究其原因，很可能与其优秀的数学和物理基础有关。而打好数学物理基础的最佳时期正是青年时期，也就是大学本科这个阶段。另外，对于一些交叉领域的研究（例如上文中提到的关于羊腿部运动的动力学行为的研究），实际上从数学物理角度而言，很多内容是可以与流体力学中所学到的知识进行相互借鉴的。
注释部分
注一：该图片引自新华网的报道。
新闻标题：新华社记者带你走近山东舰
新闻链接：http://www.xinhuanet.com/photo/2019-12/27/c_1125396643_3.htm
注二：1968年该城市已与托贝合并。
注三：该图片引自wikimedia。
链接：https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Williams_Froude.jpeg
注四：该数字引自以下文献。
《DK儿童太空百科全书》，第129页
