廖山涛先生于 1997 年仙逝，今年是百年诞辰。二十多年过去，往事恍若昨日。在这个 特殊的日子，怀念先生，作此短文，以志纪念。
幸 运的 是 ，科 学 出版 社在 1996 年 出版 了 廖先 生 的选 集《 Qualitative Theory of Differentiable Dynamical Systems》。书中收藏了廖先生在微分动力系统方面的主要文章 8 篇 和附录 2 篇。这些文章涵盖了廖先生工作的原始文献，包括动力系统遍历理论，典范方程组， 阻碍集及在 C1 封闭引理，结构稳定系统的刻画等方面的应用。我从读研究生时开始研读廖 先生的文章，并得到导师吴文俊先生的支持与鼓励。读廖先生的文章，如见其人，如闻其声。 他是一位纯粹的学者，其工作有令人叹服的原创性，文如其人，跃然纸上。
廖先生工作的核心，为微分方程定性理论奠定数学基础，以系统研究结构稳定性与混沌 问题。结构稳定性问题，六十年代起，Smale 学派做了很多研究，提出了刻画结构稳定性的 猜测。结构稳定的系统，就是一些大范围的常微分方程组，其系数和其一阶导数做一个小的 扰动，定性行为仍然是一样的。廖先生同期独立发展了一套理论。他六十年代初将遍历理论 用于动力系统，提出 Lyapunov 指数的概念。而后发展典范方程组，将一个轨道附近的行为 用常微分方程来表达，非常方便于研究。用此方法，可以证明 C1 封闭引理，用周期轨道逼 近一般的回归的（recurrent）轨道。80 年代中，我在普林斯顿做学生时，导师 Mather 教授对此证明很感兴趣。我给他讲廖先生与其弟子麦结华的证明，前后近两个月。他理解了这个 证明后，非常高兴，马上安排我做一次正式的学术报告讲解这个证明。廖先生工作中不变测 度的概念尤为重要，也可用于 Hamilton 动力系统的研究，与变分法结合，发展出整体理论。 将一个回归轨道的有线段封闭，C1 扰动（一阶导数也比较小）需要这个轨道端点周围有一 定的空间没有递归的轨道，因此对轨道的筛选要很仔细。这个技巧适用于一般的递归轨道。
结构稳定问题的复杂性在于，一个常微系统一般会有无穷多个周期轨道。如果限于具有 有限个周期轨道的 Morse-Smale 系统，这个问题已有明确的答案，即所有周期轨道是双曲 的，这些轨道的稳定流形与非稳定流形横截相交。对于具有无穷多个周期轨道的系统，廖先 生最早提供了比较清晰的图像。这些系统的周期轨道都是双曲的，在小扰动下，仍然是双曲 的。这样的系统具有可数个双曲周期轨道。廖先生敏锐地意识到，为刻画结构稳定系统，横 截性条件是最基本的。为此廖先生发展了阻碍集的概念与理论，定量地刻画一般轨道上的横 截性。在非游荡点集与阻碍集不交的情形，廖先生建立了这个不变集上的双曲性。对于阻碍 集非空的情形，廖先生深入地研究了这个集合的结构。特别地，这种系统可以做小的扰动， 在混沌的点附近，不同的扰动可以得到具有不同指标的双曲周期轨道。由此得到结构稳定系 统的另一个图像，具有不同指标的周期轨道的闭包互不相交。我有幸在廖先生等工作的基础 上，做了一点贡献。我的博士论文将 Mane 的微扰技巧做了一点改进，验证了三维微分动力 系统的结构稳定性猜测。今日重温廖先生的工作，对廖先生工作的原创性惊叹不已。以他的 工作为基础，应足以刻画结构稳定系统。
原创性工作在数学的发展中起核心作用，这是我们最需要向先辈学习的地方。廖山涛先 生在微分动力系统方面做了原创性，奠基性工作。吴文俊先生在示性类等方面做了基础性， 原创性工作。华罗庚先生在多复变与数论等方面做了原创性工作。陈省身先生高维 Gauss-Bonnet 和示性类的工作，直逼高斯。丘成桐先生在 Calabi-Yau 空间的工作成为弦论的基石，在广 义相对论方面做了奠基性工作。他们是我们的榜样，他们的工作将激励年轻人做出原创性工 作，对于数学发展有新的贡献。
