生活中的变量关系教学教案

　　第二章 函数
　　2.1生活中的变量关系（学案）
　　[学习目标]
　　1、知识与技能
　　（1）通过实例，了解生活中的变量关系，体会变量与变量之间的相互关系；
　　（2）知道两变量之间有相互依赖关系不一定就有函数关系；
　　（3）了解两变量之间有函数关系具备的条件；
　　2、 过程与方法
　　（1）从实践生活中发现变量之间存在关系的过程，感知函数的意义.
　　（2）注意收集归纳生活中变量之间的关系.
　　3、情感.态度与价值观
　　培养善于观察发现的责任心，增强学习的积极性.
　　[学习重点]: 现实生活中的实例中的变量关系.
　　[学习难点]：对于两变量之间的函数关系的理解.
　　[学习教具]：实例图片
　　[学习方法]：提供信息材料，自主学习、思考、交流、讨论和概括.
　　[学习过程]
　　世界是变化的,许多变量之间有着相互依赖的关系，变量与变量的依赖关系在生活中随处可见,与我们息息相关.函数就描述了因变量随自变量而变化的依赖关系.
　　[互动过程1]：
　　回顾复习：初中我们学习过哪些函数？
　　你能说出函数描述了几个变量之间的关系？它们分别是什么变量？
　　因变量y与自变量x之间什么样的依赖关系？什么是函数吗？
　　由于函数的概念比较抽象，不好理解，教师可以提示：
　　因变量y随自变量x的变化而变化：即一个x的取值有唯一确定的值y与之对应则称y是x的函数.
　　函数的概念：
　　设在一个变化过程中有两个变量x与y, 如果对于x的每一个值, y都有唯一的值与它对应, 那么就说y是x的函数.x叫做自变量.
　　注意:并非有依赖关系的两个变量都有函数关系.
　　[互动过程2]：
　　下面我们在高速公路的情景下,看看你能发现哪些函数关系?
　　1．由挂图提供下面有关的数据,请同学们根据下列数据思考表中有几个变量?这些变量之
　　间有没有函数关系?
　　你能利用表中的数据画出图形，并观察它们之间的关系吗？.
　　这样就更清楚的表现出变量之间的依赖关系和变化关系了.
　　问题:里程与年份之间是否有函数关系?
　　从这里可以看出函数可以关系可以由 表示,也可以用 法,另外,还有 法.
　　[互动过程3]：
　　2．高速公路上我们还会联想到行驶的汽车,自然会想到时间与路程、速度的关系,还有什
　　么变量关系?
　　[互动过程4]：
　　问题:思考储油量 是否为d的函数? 储油量 是否
　　为截面半径r的函数呢?
　　【课堂练习】教材P.25 练习:
　　4．（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 看作时间 的函数，其图像可能是（ ）
　　5．（07江西）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中
　　酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确
　　的是（ ）
　　A．h2 h1 h4 B．h1 h2 h3 C．h3 h2 h4 D．h2 h4 h1
　　数列求和
　　数列的求和
　　目的：小结数列求和的常用方法，尤其是要求学生初步掌握用拆项法、裂项法和错位法求一些特殊的数列。
　　过程：
　　基本公式：
　　1.等差数列的前 项和公式：
　　2．等比数列的前n项和公式：
　　当 时， ① 或 ②
　　当q=1时，
　　一、特殊数列求和－－常用数列的前n项和及其应用：
　　例1 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且 ，
　　求数列{an}的前n项和
　　——由题和等差数列的前n项和公式先求通项公式an，再sn
　　例3 求和S =1 2 3+2 3 4+…+n(n+1)(n+2)．
　　——关键是处理好通项：n(n+1)(n+2)=n +3n +2n，
　　应用 特殊公式和分组求解的方法。
　　二、拆项法(分组求和法)：
　　例4求数列
　　的前n项和。
　　——拆成等比数 和列等差数列 {3n-2},应用公式求和，注意分a=1和 两类讨论.
　　三、裂项（相消）法：
　　例5求数列 前n项和
　　——关键是处理好通项（裂项）.设数列的通项为bn，则
　　例6求数列 前n项和
　　解：
　　四、错位法：
　　例7 求数列 前n项和
　　解： ①
　　两式相减：
　　五、作业：
　　1. 求数列 前n项和
　　2. 求数列 前n项和
　　3. 求和： (5050)
　　4. 求和：1 4 + 2 5 + 3 6 + ……+ n (n + 1)
　　5. 求数列1，(1+a)，(1+a+a2)，……，(1+a+a2+……+an1)，……前n项和
　　对数函数
　　2.3.2 对数函数（三）
　　【学习目标】:
　　1．掌握对数函数的定义、图像和性质，会运用对数函数的知识解综合题；
　　2．了解复合形式的对数函数问题的解法。
　　【过程】：
　　一、复习引入：
　　1．回顾对数函数的定义、图像和性质：
　　2．函数 的图象必经过定点
　　3．函数 的定义域是为M， 的定义域是为N，那么
　　4．函数 的值域是
　　二、典例欣赏：
　　例1．判断函数 的奇偶性.
　　变题1：已知函数 ，若 ，则 _________。
　　变题2：已知函数 是奇函数，求实数 的值。
　　例2．判断函数 ( )的单调性.
　　变题1：求下列函数的单调区间：
　　（1） ； （2）
　　变题2：已知 在区间 上是增函数，求实数a的取值范围。
　　变题3：已知函数 .
　　（1）求证：函数 在 内单调递增；
　　（2）若关于 的方程 在 上有解，求实数 的取值范围.
　　变题4：已知函数 ，
　　（1）若定义域为R，求实数a的取值范围；
　　（2）若定义域为 ，求实数a的取值集合；
　　（3）若值域为R，求实数a的取值范围；
　　（4）若值域为 ，求实数a的取值集合．
　　【针对训练】 班级 姓名 学号
　　1．函数 过定点
　　2. 函数 的单调递增区间是
　　3．已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ，则 时， 的表达式
　　4. 已知 ，则
　　5．设 ，若函数 有最小值，则不等式 的解集为 。
　　6．已知 是 上的减函数，那么 的取值范围是
　　7.若函数 的定义域为R,求 的取值范围.
　　8．函数 在 上是增函数，求实数 的取值范围.
　　9．已知函数 满足：对任意实数 ，当 时，总有 ，求实数a的取值范围。
　　10.设 ，且x+2y=1，求函数 的值域.
　　11.已知函数 .
　　① 求 的定义域；② 讨论 的单调性.
　　【拓展提高】
　　12. 已知函数
　　（1）若函数的定义域为 ，求实数 的取值范围，
　　（2）若函数的值域为 ，求实数 的取值范围。
　　实际问题的函数刻画
　　第四章2.1
　　课题：实际问题的函数刻画
　　【目标要求】
　　〖学习目标
　　1、知道什么叫数学模型，知道数学建模的意义。
　　2、会用函数刻画现实世界中变量间的依赖关系。
　　3、知道函数的一些模型。如正反比列函数、一次函数。
　　〖学习重点、难点
　　用函数观点刻画实际问题。（重点）
　　准确理解题意，理解变量间的关系。（难点）
　　【过程方法】
　　〖预习提要
　　一、问题1 当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，表4-2给出了实验的一组数据，这组数据能说明什么？
　　环境温度／( ) 4 10 20 30 38
　　代谢率/[4185J/(h .m2)] 60 44 40 40.5 54
　　（⒈）在这个实际问题中出现了几个变量？它们之间能确定函数关系吗？为什么？
　　（2）、结合图4-5分析代谢率在什么范围下降，什么范围上升？
　　（3）温度在什么范围内代谢率变化较小比较稳定，什么范围代谢率变化较大？
　　二、问题2某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去了200000元，生产每件工艺品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元，产量z对总成本C、单位成本P、销售收入R以及利润L之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际含义？
　　（1）总成本C与产量x的关系是什么？
　　（2）单位成本P与产量x的关系是什么？
　　（3）销售收入R与产量x的关系是什么？
　　（4）利润L与产量x的关系是什么？
　　（5）利润关系式是什么函数？当x取何值时亏损、盈利？
　　〖预习反馈
　　〖精讲释疑
　　问题三、问题3如图4-7，在一条弯曲的河道上，设置了6个水文监测站，现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站沿河边分别向情报中心铺设专用通信电缆，怎样刻画专用通信电缆的总长度？
　　〖检测拓展
　　类型一：数学模型为正比列、反比列函数的问题
　　1、一个圆柱形容器的底面直径为dcm,高度为hcm，现以每秒S 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液高度y与时间t（秒）的函数关系式及定义域。
　　2、有m部同样的机器一起工作，需要m小时完成一项任务。
　　（1）设由x部机器（x为不大于m的正整数）完成同一任务，求所需时间y（小时）与机器的部数x的函数关系式。
　　（2）画出所求函数当m=4时的图像。
　　类型二：数学模型为一次函数
　　2、某家报刊销售店从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社。在一个月（30天）里，有20天每天都可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同，则应该每天从报社买进多少份才能使每月所获利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚的多少元？
　　4、某人开汽车以60 的速度从A地到150km远处的B处，在B地停留1h后，再以50 的速度返回A地。把汽车离开A地的距离x（km）表示为时间t(h)（从A地出发开始）的函数，并画出函数的图像；再把车速v（ ）表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图像。
　　〖归纳整理
　　【学/教后感】
　　函数概念
　　泗县三中教案、学案用纸
　　年级高一
　　学科数学
　　课题
　　函数概念2
　　授课时间
　　撰写人
　　撰写时间2011年8月21日
　　学习重点
　　求一些简单函数的定义域与值域，并能用＂区间＂的符号表示；
　　学习难点
　　求函数的定义域与值域及对函数的定义域或值域书写形式
　　学习目标
　　1.会求一些简单函数的定义域值域
　　2.对函数概念的进一步理解
　　3.会对函数的定义域或值域正确书写
　　过程
　　一自主学习
　　复习
　　1.函数的概念：
　　2．函数的三要素是、、. 3.函数 与y 3x是不是同一个函数？为何？ 4.求函数定义域的规则
　　练一练
　　求下列函数的定义域（用区间表示）. （1） ；
　　（2） ；
　　（3）
　　二师生互动
　　例1求下列函数的值域（用区间表示）： （1）y x －3x 4；（2） ； （3）y  ；（4） .
　　变式：求函数 的值域及定义域。
　　小结： 求函数值域的常用方法有：
　　观察法、配方法、拆分法、基本函数法.
　　练一练
　　求下列函数的定义域及值域
　　（1） （2） （3） 例2对函数 ，以下说法中正确的是
　　（1） 是 的函数；（2）对于不同的 ， 的值也不同；（3） 表示当x=a时函数 的值，是一个常量；（4） 一定可以用一个具体式子表示出来；（5）当 和 确定后， 的值也就确定了。
　　三巩固练习
　　1.函数 的定义域是（）. A. B. C.RD. 2.函数 的值域是（）. A. B. C. D.R 3.下列各组函数 的图象相同的是（）
　　A.
　　B.
　　C.
　　D. 4.函数f(x)= + 的定义域用区间表示是. 5.已知 ， 则 的值 6.函数 对任意实数 满足条件 ，若 ，则
　　四课后反思
　　五课后巩固练习
　　1.设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的`面积y关于x的函数的解析式，并写出定义域.
　　2．(2009江西)函数 的定义域
　　3.（2007北京)已知函数 ， 分别由下表给出
　　则 的值为 ；当 时， ．
　　集合的概念及其表示
　　第一课时 集合(一)
　　目标：
　　使学生掌握集合的概念和性质，集合的元素特征，有关数的集合；培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力；培养学生认识事物的能力，引导学生爱班、爱校、爱国.
　　重点：
　　集合的概念，集合元素的三个特征.
　　教学难点：
　　集合元素的三个特征，数集与数集关系.
　　教学方法：
　　尝试指导法
　　学生依集合概念的要求、集合元素的特征，在教师指导下，能自己举出符合要求的实例，加深对概念的理解、特征的掌握.
　　教学过程：
　　Ⅰ.复习回顾
　　师生共同回顾初中代数中涉及＂集合＂的提法.
　　［师］同学们回忆一下，在初中代数第六章不等式的解法一节中提到：
　　一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.
　　不等式解集的定义中涉及到＂集合＂.
　　Ⅱ.讲授新课
　　下面我们再看一组实例
　　幻灯片：
　　观察下列实例
　　(1)数组 1，3，5，7.
　　(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点.
　　(3)满足 3x－2 x 3 的全体实数.
　　(4)所有直角三角形.
　　(5)高一(3)班全体男同学.
　　(6)所有绝对值等于6的数的集合.
　　(7)所有绝对值小于3的整数的集合.
　　(8)中国足球男队的队员.
　　(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.
　　(10)参与中国加入WTO谈判的中方成员.
　　通过以上实例.教师指出：
　　1.定义
　　一般地，某些指定对象集在一起就成为一个集合(集).
　　师进一步指出：
　　集合中每个对象叫做这个集合的元素.
　　［师］上述各例中集合的元素是什么?
　　［生］例(1)的元素为1，3，5，7.
　　例(2)的元素为到两定点距离的和等于两定点间距离的点.
　　例(3)的元素为满足不等式3x－2 x 3的实数x.
　　例(4)的元素为所有直角三角形.
　　例(5)为高一(3)班全体男同学.
　　例(6)的元素为－6，6.
　　例(7)的元素为－2，－1，0，1，2.
　　例(8)的元素为中国足球男队的队员.
　　例(9)的元素为参加2008年奥运会的中国代表团成员.
　　例(10)的元素为参与WTO谈判的中方成员.
　　［师］请同学们另外举出三个例子，并指出其元素.
　　［生］(1)高一年级所有女同学.
　　(2)学校学生会所有成员.
　　(3)我国公民基本道德规范.
　　其中例(1)的元素为高一年级所有女同学.
　　例(2)的元素为学生会所有成员.
　　例(3)的元素为爱国守法、明礼诚信、团结友爱、勤俭自强、敬业奉献.
　　［师］一般地来讲，用大括号表示集合.
　　师生共同完成上述例题集合的表示.
　　如：例(1){1，3，5，7}；
　　例(2){到两定点距离的和等于两定点间距离的点}；
　　例(3){3x－2 x 3的解}；
　　例(4){直角三角形}；
　　例(5){高一(3)班全体男同学}；
　　例(6){－6，6}；
　　例(7){－2，－1，0，1，2}；
　　例(8){中国足球男队队员}；
　　例(9){参加2008年奥运会的中国代表团成员}；
　　例(10){参与WTO谈判的中方成员}.
　　2.集合元素的三个特征
　　幻灯片：
　　问题及解释
　　(1)A {1，3}，问3，5哪个是a的元素?
　　(2)A {所有素质好的人}能否表示为集合?
　　(3)A {2，2，4}表示是否准确?
　　(4)A {太平洋，大西洋}，B {大西洋，太平洋}是否表示为同一集合?
　　生在师的指导下回答问题：
　　例(1)3是集合A的元素，5不是集合A的元素.例(2)由于素质好的人标准不可量化，故A不能表示为集合.例(3)的表示不准确，应表示为A {2，4}.例(4)的A与B表示同一集合，因其元素相同.
　　由此从所给问题可知，集合元素具有以下三个特征：
　　(1)确定性
　　集合中的元素必须是确定的，也就是说，对于一个给定的集合，其元素的意义是明确的.
　　如上例(1)、例(2)、再如
　　{参加学校运动会的年龄较小的人}也不能表示为一个集合.
　　(2)互异性
　　集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
　　如上例(3)，再如
　　A {1，1，1，2，4，6}应表示为A {1，2，4，6}.
　　(3)无序性
　　集合中的元素是无先后顺序，也就是说，对于一个给定集合，它的任何两个元素都是可以交换的.
　　如上例(1)
　　［师］元素与集合的关系有＂属于 ＂及＂不属于 ＂（ 也可表示为 ）两种.
　　如 A {2，4，8，16} 4  A 8 A 32 A
　　请同学们考虑：
　　A {2，4}，B {{1，2}，{2，3}，{2，4}，{3，5}}，
　　A与B的关系如何？
　　虽然A本身是一个集合.
　　但相对B来讲，A是B的一个元素.
　　故A B.
　　幻灯片：
　　3.常见数集的专用符号
　　N：非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合)
　　N*或N ：正整数集（非负整数集N内排除0的集合）
　　Ｚ：整数集（全体整数的集合）
　　Q：有理数集（全体有理数的集合）
　　R：实数集（全体实数的集合）
　　［师］请同学们熟记上述符号及其意义.
　　Ⅲ.课堂练习
　　1.(口答)说出下面集合中的元素.
　　(1){大于3小于11的偶数} 其元素为 4，6，8，10
　　(2){平方等于1的数} 其元素为－1，1
　　(3){15的正约数} 其元素为1，3，5，15
　　2.用符号 或 填空
　　1 N 0 N －3 N 0.5 N 2  N
　　1 Z 0 Z －3 Z 0.5 Ｚ 2  Ｚ
　　1 Q 0 Q －3 Q 0.5 Q 2  Q
　　1 R 0 R －3 R 0.5 R 2  R
　　3.判断正误：
　　(1)所有在N中的元素都在N*中(   )
　　(2)所有在N中的元素都在Z中(   )
　　(3)所有不在N*中的数都不在Z中(   )
　　(4)所有不在Q中的实数都在R中(   )
　　(5)由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0(   )
　　(6)不在N中的数不能使方程4x 8成立(   )
　　Ⅳ.课时小结
　　集合的表示方法
　　j.Co M 数学必修1：集合的表示方法
　　目标：掌握集合的 表示方法，能选择自 然语言、图形语言、集合语言描述不 同的问题.
　　重点、难点：用列举法、描述法表示一个集合.
　　教学过程：
　　一、复习引入：
　　1．回忆集合的概念
　　2．集合中元素有那些性质？
　　3．空集、有限集和无 限集的概念
　　二、讲述新课：
　　集合的表示方法
　　1、大写的字母表示集合
　　2、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法.
　　例如，24所有正约数构成的 集合可以表示为{1，2，3，4 ，6，8，12，24}
　　注：（1）大括号不能缺失.
　　(2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3，…，100}
　　自然数集N：{1，2，3，4，…,n,…}
　　（3）区分a与{a} ：{a}表示一个集合，该集合只有一个元素.a表示这个集合的一个元素.
　　（4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后 次序.相同的元素不能出现两次.
　　3、特征性质描述法：
　　在 集合I中，属于集合A的任意元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质，于是集合A可以表示如下：
　　{x Ip(x)}
　　例如，不等式 的解集可以表示为： 或 ，
　　所有直角三角形的集合可以表示为： 注：（1）在不致混淆的情况下，也可以写成：{直角三角形}；{大于104的实数}
　　（2）注意区别：实数集，{实数集}.
　　4、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一 个集合.
　　例1：集合 与集合 是同一个集合 吗？
　　答：不是.
　　集合 是点集，集合 = 是数集。
　　例2：（教材第7页例1）
　　例3：（教材第7页例2）
　　课堂练习：
　　（1）教材第8页练习A、B
　　（2）习题1-1A： 1，
　　小结：
　　本节课学习了集合的表示方法（字母表示、列举法、描述法、文氏图共4种）
　　课后作业: 1，2