第十一章一次函数简介

　　课程教材研究所　田载今
　　一、教科书内容和课程学习目标
　　（一）教科书内容
　　本章的主要内容包括：变量与函数的概念，函数的三种表示法，正比例函数和一次函数的概念、图象、性质和应用举例，用函数观点再认识一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组。
　　全章共包括三节：
　　11．1　变量与函数
　　11．2　一次函数
　　11．3　用函数观点看方程（组）与不等式
　　其中，11．1节是全章的基础部分，11．2节是全章的重点内容，11．3节是引申的内容。
　　函数的概念是数学中极为重要的基本概念，它的抽象性较强，接受并理解它有一定难度，这也是本章的难点。
　　变化与对应的思想体现在函数概念之中，用运动变化的眼光，以函数为工具，从数量关系和图象两方面动态地分析问题，是本章学习的特点。
　　（二）本章知识结构框图
　　（三）课程学习目标
　　本章内容的设计与编写以下列目标为出发点：
　　1．以探索实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历＂找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题＂的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型；
　　2．结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会＂变化与对应＂的思想，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系；
　　3．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题；
　　4．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系。
　　（四）课时安排
　　本章教学时间约需15课时，具体分配如下（仅供参考）：
　　11．1　变量与函数　　　　　　　　　　　　5课时
　　11．2　一次函数　　　　　　　　　　　　　5课时
　　11．3　用函数观点看方程（组）与不等式　　3课时
　　数学活动
　　小结　　　　　　　　　　　　　　　　　　2课时
　　二、本章的编写特点
　　（一）反映函数概念的实际背景，渗透＂变化与对应＂的思想
　　在建立和运用函数这种数学模型的过程之中，＂变化与对应＂的思想是重要的基础，所谓变化与对应的思想包括两个基本意思：
　　1．世界是变化的，客观事物中存在大量的变量；
　　2．在同一个变化过程中，变量之间不是孤立的，而是相互联系的，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化，这些变化之间存在对应关系。
　　函数是数量化地表达变化与对应思想的数学工具，变化规律表现在变量（自变量与函数）之间的对应关系上，函数通过数或形定量地描述这种对应关系。变化与对应思想正是本章内容中蕴涵的基本思想。
　　人的认识过程是波浪式前进、螺旋式上升的。学习数学中的一个重要的基本概念，需要分阶段地完成，逐步深化认识程度。本套教科书将对代数函数的学习分三章安排，即八年级上学期学习第十一章＂一次函数＂，八年级下学期学习第十七章＂反比例函数＂，九年级下学期学习第二十六章＂二次函数＂。在学习这些内容之前，分别安排了学习一次方程（组）、分式方程和一元二次方程，即按代数运算类型划分阶段，将函数作为方程的后续内容。
　　本章是学习函数的第一阶段，其教学目标如前所述，重点在于初步认识函数概念，并具体讨论最简单的初等函数 次函数。本章教科书力求能在具体的数学内容中渗透体现变化与对应的思想，使学生能潜移默化地感触体会函数内容中最基本的东西，在对数学思想方法的学习方面有所收获。
　　本章在学生对一元一次方程、二元一次方程组和一元一次不等式等以一次（线性）运算为基础的数学模型的已有认识上，从变化和对应的角度，对一次运算进行更深入的讨论。
　　教科书在进入专门对一次函数的讨论之前，安排学生先了解函数的一般概念。第11．1节首先从5个具有实际背景的问题入手，引导学生通过填表和列式表示问题中相关的量，从中认识常量和变量的主要特征，学会区别它们。接着，教科书通过＂归纳＂栏目总结出这些问题中变量间关系的共同特点，即问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一变量有唯一确定的对应值。教科书又继续用心电图、人口统计表等问题对这种变化与对应关系进行了补充和强化，这也为后面的函数表示法写下伏笔。在此基础上，教科书第一次给出了函数的一般概念以及自变量、函数值等概念。教科书中给出的函数定义是突出变化与对应的，其中主要有两层意思：
　　1．两个变量互相联系，一个变量变化时另一个变量也发生变化；
　　2．函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。
　　这是关于函数的最基本、最朴素的刻画。这一节的最后部分重点讨论了函数图象的概念，图象是直观地描述和研究函数的重要工具。三种常见的函数表示法，即列表法、解析式法和图象法，是反映函数的三种不同形式。
　　（二）从特殊到一般地认识一次函数
　　人们认识事物往往经历＂从特殊到一般＂的过程，教科书对本章重点内容的安排正是按照这样的过程展现的。
　　在对函数概念初步讨论后，教科书转入对一种具体的初等函数的讨论，第11．2节的标题＂一次函数＂点出了这一节的核心对象。这一节首先从讨论正比例函数开始，正比例函数是特殊的一次函数，即中的类型。对正比例函数的定义、图象和性质的讨论，可以为讨论一般的一次函数奠定基础。
　　在分析具体问题时，教科书注意了引导学生利用事物之间的联系从特殊到一般地认识问题，例如讨论一次函数的图象时，教科书先对比函数和的区别，由直线的平移变换过渡到直线，然后再得出由两点确定直线的一般方法。采用这种处理方式能够展示解决问题的一种基本策略，即＂先特殊化、简单化，再一般化、复杂化＂的做法。
　　（三）用函数观点回顾与审视相关内容，加强知识体系的构建
　　在学习过程中，人们需要不断地提高认识问题的水平，这包括对过去已认识过的事物的再认识，也包括对新认识的事物与已认识的事物之间的联系的认识。这种认识水平的提高，是构建知识体系的过程中不可缺少的。
　　本章最后的第11．3节＂用函数观点看方程（组）与不等式＂，从函数的角度对前面学习过的一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组重新进行了分析，这种再认识不是原来水平上的回顾复习，而是站在更高的起点上的动态分析。用一次函数可以把上述三个不同的数学对象统一认识，由此可见函数的重要性。＂水涨船高＂，随着知识积累的增加，认识事物的水平也会相应提高。＂站得高看得远＂，通过学习本节内容，不仅可以加深对方程（组）与不等式等数学对象的理解，而且可以加大对已经学过的相关内容之间的联系的认识，加强知识间横纵向的融会贯通，提高灵活地分析解决问题的能力。这也从一个侧面反映了函数概念的作用。
　　（四）注重联系实际问题，体现数学建模的作用
　　世界是运动变化的，函数是研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际又服务于客观实际。本章教科书中实际问题贯穿于始终，它们中有些是作为函数的实际背景，为降低学习抽象概念的难度服务的。例如，在引入函数概念时，教科书通过对一系列实际问题中变量间关系的分析与描述，归纳出一般性的规律要点，得出函数的定义。这样的过程是由具体到抽象，由特殊到一般的过程，是以实际问题抽象为数学模型为线索的展现过程。有些实际问题是作为应用举例体现函数的广泛的应用性，为培养应用数学解决实际问题的意识和能力服务的。例如，第11．2节中的例6就是这样的问题，它是一个选择最优方案的实际问题，可以归为线性规划的初级问题。要解决这个问题，需要先确定影响总运费的最关键的变量，再列出表示总运费的函数解析式，然后分析这个解析式或相应的图象，找出总运费的最小值。分析和解决这个问题的过程，对体现数学建模的作用具有比较典型的意义。
　　本章的数学活动中，安排了根据表格中实际问题的数据信息用函数进行预测估计或选择方案的问题。安排这些问题的目的在于：一方面通过实际生活中的问题，进一步突出函数这种数学模型应用的广泛性和有效性；另一方面使学生能在解决实际问题的情境中运用所学数学知识，进一步提高分析问题和解决问题的综合能力。本章在学生已有的建立方程或不等式这样的数学模型的基础上，继续重视数学与实际的关系，在建立函数这种应用更广泛的数学模型的过程中继续体现建模思想。
　　此外，教科书对于数学与其他科学技术的联系也予以关注。例如，＂阅读与思考科学家如何测算地球的年龄＂中，介绍了放射性物质蜕变过程中指数函数变化曲线对确定半衰期的作用等。编者希望学生通过学习本章不仅进一步学习数学，而且也能扩大对相关科技知识的了解。
　　三、几个值得关注的问题
　　（一）重视数学概念中蕴涵的思想，注意从运动变化和联系对应的角度认识函数
　　数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，世界永远是处于运动变化之中的，因此无论是数量关系中还是空间形式中都充满了有关运动变化的问题。函数正是研究运动变化的重要数学模型，它反映的是变量之间的对应规律，它对研究数量关系的作用是十分显然的。由于空间形式可以代数化（解析几何的产生就是典型例证），所以在对于空间形式的研究中函数也能发挥巨大作用，数学史的发展对此有充分的证明，函数在当今数学的各个领域都是极为重要的角色。
　　函数概念来源于客观实际需要，也来自数学内部发展的需要。它是以变化与对应的思想为基础的数学概念。怎样认识函数概念呢？学习函数概念不能只注重背记定义而不关注它的实质，要使学生理解定义的真正含义，即函数概念的实质就是运动变化与联系对应。使学生了解对于许多客观事物必须从运动变化的角度研究，许多问题中的各种变量是相互联系的，变量之间存在对应规律。变量的值之间存在对应关系，其中就有单值对应关系，刻画这种关系的数学模型就是函数。本章所讨论的是最简单、最基本的函数，但是函数不分简单还是复杂，在本质上都是上面所说的那样的数学模型。作为关于函数的初始教学，应有意识地体现函数的本质，这正是本章内容中蕴涵的基本思想。当然，对于运动变化与联系对应的思想的认识也是需要逐步理解的，所以教学中应注意在不同阶段对这一思想的渗透介绍要有不同的做法和要求，要逐步深化，要从具体到抽象，从特殊到一般地引导学生认识它。
　　本套教科书在本章中首次正式出现函数概念，通过本章教学，学生应对函数形成初步的正确认识，即认识到虽然函数的表示方法有多种，因问题不同函数的具体形式可以形形色色，但是各种函数都是反映变化规律的数学工具，现在学习的函数都是刻画同一个变化过程中两个变量之间的对应关系的模型，对于同一类问题可以用同一类函数进行研究（例如用一次函数研究线性规划问题）。
　　（二）借助实际问题情景，由具体到抽象地认识函数；通过函数应用举例，体现数学建模思想
　　现实中存在大量问题涉及具有简单函数关系的变量，其中许多问题中的数量关系是一次（也称线性）的，这为学习本章内容提供了大量的现实素材。在本章教科书中，实际问题情境多次出现，其作用主要体现在以下方面：
　　1．引入或解释函数等概念，例如通过候鸟飞行问题引入正比例函数，通过登山问题引入一次函数，通过第11．1节中一系列具体例子解释变量间的对应关系等，这样做的目的是借助直观的、具体的事物为理解抽象的内容服务。
　　2．作为函数的应用举例，例如第11．1节中例4的水位预测，第11．2节中例6的运输规划等，它们都可以体现数学建摸思想，反映函数的广泛应用性。
　　本章明确提出＂为了更深刻地认识千变万化的世界，人们经归纳总结得出一个重要的数学工具 函数，用它描述变化中的数量关系。函数的应用极其广泛。＂在本章的教学和学习中，要充分注意有关现实背景，通过它们反映出函数来自实际又服务于实际，加强对函数是解决现实问题的一种重要数学模型的认识。
　　找出问题中相关变量之间的关系，并以数学形式表现这种关系，是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确地理解问题情境是基础。在本章的教学和学习中，可以从多种角度思考，借助图象、表格、式子等进行分析，寻找变量之间的关系，检验所建立的函数的合理性。教师还可以结合实际情况选择更贴近学生生活的各种问题，引导学生用函数分析解决它们。
　　（三）重视数形结合的研究方法
　　本章所讨论的对象是函数，函数的表示法之一是图象法，即通过坐标系中的曲线上点的坐标反映变量之间的对应关系。这种表示方法的产生，将数量关系直观化、形象化，提供了数形结合地研究问题的重要方法，这在数学发展中具有重要地位。恩格斯说：＂笛卡儿变数的出现，是数学中的一个转折点，从此运动和辩证法进入了数学。＂
　　在本章的教学和学习中，不能仅仅着眼于具体题目的解题过程，而应不断加深对相关数学思想方法的领会，从整体上认识问题的本质。以前我们曾多次提到数学思想方法是通过数学知识的载体来体现的，而对于它们的认识需要一个较长的过程，既需要教材的渗透，也需要教师的点拨，最后还需要学生自身的感受和理解。结合本章内容可以对数形结合的方法顺势自然地理解，并逐步加以灵活运用，发挥从数和形两个方面共同分析解决问题的优势。教学过程中，在函数解析式与图象的结合方面应有细致的安排设计，注意两者的互补作用，体现两者的联系，突出两者间的转化对分析解决问题的特殊作用。学习了本章之后不仅要知道有关函数的图象，更要体验图象的作用和数形结合的方法。数学思想方法是具体的数学知识的灵魂，数学思想方法对一个人的影响往往要大于具体的数学知识。
　　（四）加强对知识之间内在联系的认识，体会函数观点的统领作用
　　设计本章教科书的内容和结构时，注意了函数与以前所学习的其他代数知识的关系，力求能够在发展和构建一个较好的知识体系方面起到一定引导作用。为此，本章安排了第11．3节＂用函数观点看方程（组）与不等式＂，用函数的观点对前面学习过的一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程（组）重新进行了分析。教学中应能感受到这种再认识不是原来水平上的回顾复习，而是站在更高处进行动态的分析。教师需要明确安排这一节的目的，把握这些内容的要求尺度。教科书的设计者希望能通过这些内容的教学，加强知识间横向和纵向的联系，发挥函数对相关内容的统领作用，使学生能用一次函数可以把以前学习的方程和不等式等不同的数学对象统一起来认识，逐步达到新旧知识的融会贯通，进一步体验函数的重要性，提高灵活地分析解决问题的能力。
　　由于本章最后部分是以新带故的内容，其中多数内容学生并不生疏，所以这部分内容很适合探究式学习方式，希望教学中注意加强学习的主动性，注意鼓励学生积极探究，教师为启发诱导设计必要的铺垫，让学生能在经过自己的努力来体验知识间的内在联系。
　　从特殊到一般地认识问题，是学习的一种途径。本章在讨论一次函数时，教科书在函数解析式、图象、性质等问题上，注意了对比函数和的区别，并对这些问题进行了由特殊到一般的讨论。教学中应注意这种安排的前后联系，体现解决问题时＂先特殊化、简单化，再一般化、复杂化＂的基本策略。
　　（五）注重对于基础知识和基本技能的掌握，提高基本能力
　　本章中函数的基本概念，函数的一般表示法和一次函数的概念、图象、性质等是基础知识；会画一次函数（包括正比例函数）的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质等是基本技能；能利用这些函数分析和解决简单实际问题是基本能力。对于基础知识和基本技能的掌握和基本能力的提高，都应在教学中得到落实。例如，第11．1节中对于描点法画函数图象的一般步骤进行了归纳，这对后续学习很重要，应使学生熟悉它。又如，一次函数中的正负对函数的增减性（图象的升降）的影响等，是一次函数的基本性质，应使学生从数形两方面理解